問題4から7まで、順列組み合わせの問題です。 - 問題4: 大人3人と子供2人が並ぶ際の並び方の数を求める。 - 問題5: 3人が2つの部屋のいずれかに入る場合の数を求める。 - 問題6: 9人から3人を選ぶ場合の数、および、9人中女子4人、男子5人の場合で、女子2人、男子1人を選ぶ場合の数を求める。 - 問題7: "people" の6文字を並び替えて文字列を作る場合の数を求める。

1. 問題の内容

問題4から7まで、順列組み合わせの問題です。

- 問題4: 大人3人と子供2人が並ぶ際の並び方の数を求める。

- 問題5: 3人が2つの部屋のいずれかに入る場合の数を求める。

- 問題6: 9人から3人を選ぶ場合の数、および、9人中女子4人、男子5人の場合で、女子2人、男子1人を選ぶ場合の数を求める。

- 問題7: "people" の6文字を並び替えて文字列を作る場合の数を求める。

2. 解き方の手順

問題4:

(1) 大人3人と子供2人が交互に並ぶ場合、大人が奇数番目に来る必要がある。並び方は大人、子供、大人、子供、大人の順になる。大人の並び方は $3!$ 通り、子供の並び方は $2!$ 通りなので、$3! \times 2! = 6 \times 2 = 12$ 通り。

(2) 両端が大人の場合、真ん中の3人は自由に並ぶことができる。両端の大人の選び方は $3 \times 2 = 6$ 通り。残りの3人の並び方は $3! = 6$ 通り。よって、$6 \times 6 = 36$ 通り。

(3) 輪の形に並ぶ場合、(5-1)! = 4! = 24 通り。

問題5:

各人は2つの部屋のどちらかを選べるので、$2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8$ 通り。

問題6:

(1) 9人から3人を選ぶ組み合わせは $_9C_3 = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84$ 通り。

(2) 女子4人から2人を選ぶ組み合わせは $_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ 通り。男子5人から1人を選ぶ組み合わせは $_5C_1 = 5$ 通り。よって、$6 \times 5 = 30$ 通り。

問題7:

"people" の6文字を並び替える。ただし、"p"と"e"がそれぞれ2つあるので、同じものを含む順列となる。

$\frac{6!}{2!2!} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(2 \times 1)} = \frac{720}{4} = 180$ 通り。

3. 最終的な答え

問題4:

(1) 12

(2) 36

(3) 24

問題5: 8

問題6:

(1) 84

(2) 30

問題7: 180