## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

問題は3つのパートに分かれています。

* **問題10**: 全体集合 $U = \{x | 1 \leq x \leq 10, x \text{は整数}\}$ と、その部分集合 $A = \{1, 2, 3, 5, 7\}$ と $B = \{2, 3, 8, 10\}$ が与えられたとき、指定された集合を求める。

* **問題11**: 1から100までの整数のうち、指定された条件を満たす整数の個数を求める。

* **問題12**: 順列 $nP_r$ と階乗 $n!$ の値を計算する。

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2. 解き方の手順

### 問題10

まず、全体集合 $U$ を具体的に書き出すと $U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ となります。

(1) $\overline{A}$ (Aの補集合): $U$ の要素のうち、$A$ に含まれない要素の集合。

$\overline{A} = \{4, 6, 8, 9, 10\}$

(2) $\overline{B}$ (Bの補集合): $U$ の要素のうち、$B$ に含まれない要素の集合。

$\overline{B} = \{1, 4, 5, 6, 7, 9\}$

(3) $\overline{A} \cap B$ (Aの補集合とBの共通部分): $\overline{A}$ と $B$ の両方に含まれる要素の集合。

$\overline{A} \cap B = \{8, 10\}$

(4) $A \cup \overline{B}$ (AとBの補集合の和集合): $A$ または $\overline{B}$ に含まれる要素の集合。

$A \cup \overline{B} = \{1, 2, 3, 5, 7, 4, 6, 9\}$

(5) $\overline{A} \cap \overline{B}$ (Aの補集合とBの補集合の共通部分): $\overline{A}$ と $\overline{B}$ の両方に含まれる要素の集合。

$\overline{A} \cap \overline{B} = \{4, 6, 9\}$

(6) $\overline{A \cup B}$ (AとBの和集合の補集合): $A \cup B$ に含まれない要素の集合。

$A \cup B = \{1, 2, 3, 5, 7, 8, 10\}$

$\overline{A \cup B} = \{4, 6, 9\}$

(7) $A \cap \overline{B}$ (AとBの補集合の共通部分): $A$ と $\overline{B}$ の両方に含まれる要素の集合。

$A \cap \overline{B} = \{1, 5, 7\}$

(8) $A \cup B$ (AとBの和集合): $A$ または $B$ に含まれる要素の集合。

$A \cup B = \{1, 2, 3, 5, 7, 8, 10\}$

### 問題11

(1) 8の倍数: $100 \div 8 = 12.5$ より、12個。

(2) 12の倍数: $100 \div 12 = 8.333...$ より、8個。

12で割り切れない数: $100 - 8 = 92$個。

(3) 8の倍数: 12個。(上記(1)より)

12の倍数: 8個。(上記(2)より)

8の倍数であるが、12の倍数でない数:

8と12の最小公倍数は24。24の倍数は100までに4個($100 \div 24 = 4.166...$)

よって、8の倍数であるが、12の倍数でない数は、$12 - 4 = 8$個。

(4) 8の倍数であるが、12の倍数でない数：

上記(3)より、8個。

(5) 8でも12でも割り切れない数：

8の倍数または12の倍数である数は、$8+12-4 = 16$個。(8の倍数の数+12の倍数の数 - 24の倍数の数)

$100 - 16 = 84$個。

(6) 8で割り切れない、または12で割り切れない数：

これは、8の倍数または12の倍数でない数、ということと同じです。

8の倍数である数は12個なので、8で割り切れない数は$100 - 12 = 88$個

12の倍数である数は8個なので、12で割り切れない数は$100 - 8 = 92$個

8でも12でも割り切れる数（24の倍数）は4個です。

したがって、8で割り切れない数または12で割り切れない数は、$100 - 4 = 96$個

### 問題12

(1) $5P_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$

(2) $4P_1 = 4$

(3) $7P_7 = 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$

(4) $5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$

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3. 最終的な答え

**問題10**

(1) $\overline{A} = \{4, 6, 8, 9, 10\}$

(2) $\overline{B} = \{1, 4, 5, 6, 7, 9\}$

(3) $\overline{A} \cap B = \{8, 10\}$

(4) $A \cup \overline{B} = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9\}$

(5) $\overline{A} \cap \overline{B} = \{4, 6, 9\}$

(6) $\overline{A \cup B} = \{4, 6, 9\}$

(7) $A \cap \overline{B} = \{1, 5, 7\}$

(8) $A \cup B = \{1, 2, 3, 5, 7, 8, 10\}$

**問題11**

(1) 12個

(2) 92個

(3) 8個

(4) 8個

(5) 84個

(6) 96個

**問題12**

(1) 60

(2) 4

(3) 5040

(4) 120