全体集合 $U = \{x | 1 \le x \le 8, x \text{は整数}\}$、その部分集合 $A = \{x | x \text{は偶数}, x \in U\}, B = \{1, 2, 6, 7\}$ が与えられている。次の集合の要素を小さい順に並べて答える。 (1) $A \cap B$ (2) $A \cup B$ (3) $\overline{A} \cap B$ (4) $\overline{A \cup B}$

1. 問題の内容

全体集合 $U = \{x | 1 \le x \le 8, x \text{は整数}\}$、その部分集合 $A = \{x | x \text{は偶数}, x \in U\}, B = \{1, 2, 6, 7\}$ が与えられている。次の集合の要素を小さい順に並べて答える。

(1) $A \cap B$

(2) $A \cup B$

(3) $\overline{A} \cap B$

(4) $\overline{A \cup B}$

2. 解き方の手順

まず、集合 $U$, $A$, $B$ を具体的に書き出す。

$U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8\}$

$A = \{2, 4, 6, 8\}$

$B = \{1, 2, 6, 7\}$

(1) $A \cap B$ は $A$ と $B$ の共通部分である。

$A \cap B = \{2, 6\}$

(2) $A \cup B$ は $A$ と $B$ の和集合である。

$A \cup B = \{1, 2, 4, 6, 7, 8\}$

(3) $\overline{A}$ は $A$ の補集合であり、$U$ の要素のうち $A$ に含まれない要素の集合である。

$\overline{A} = \{1, 3, 5, 7\}$

$\overline{A} \cap B$ は $\overline{A}$ と $B$ の共通部分である。

$\overline{A} \cap B = \{1, 7\}$

(4) $A \cup B = \{1, 2, 4, 6, 7, 8\}$

$\overline{A \cup B}$ は $A \cup B$ の補集合であり、$U$ の要素のうち $A \cup B$ に含まれない要素の集合である。

$\overline{A \cup B} = \{3, 5\}$

3. 最終的な答え

(1) $A \cap B = \{2, 6\}$

(2) $A \cup B = \{1, 2, 4, 6, 7, 8\}$

(3) $\overline{A} \cap B = \{1, 7\}$

(4) $\overline{A \cup B} = \{3, 5\}$