大人3人と子供5人が1列に並ぶ場合の数を、以下の条件でそれぞれ求めます。 (1) 8人が1列に並ぶ。 (2) 大人が3人続いて並ぶ。 (3) 両端が子供である。 (4) 少なくとも一端に大人がくる。 (5) どの大人も隣り合わない。

1. 問題の内容

大人3人と子供5人が1列に並ぶ場合の数を、以下の条件でそれぞれ求めます。

(1) 8人が1列に並ぶ。

(2) 大人が3人続いて並ぶ。

(3) 両端が子供である。

(4) 少なくとも一端に大人がくる。

(5) どの大人も隣り合わない。

2. 解き方の手順

(1) 8人が1列に並ぶ場合

8人全員を並べるので、8の階乗になります。

$8! = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$

(2) 大人3人が続いて並ぶ場合

大人3人をひとまとめにして1つのグループと考えます。

すると、子供5人と大人のグループの合計6つのものを並べることになります。

並べ方は $6!$ 通りです。

また、大人3人のグループ内での並び方は $3!$ 通りです。

したがって、並べ方は $6! \times 3!$ 通りです。

$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$

$3! = 3 \times 2 \times 1$

(3) 両端が子供である場合

まず、両端に子供を並べます。5人の中から2人を選んで並べるので、$5 \times 4 = 20$ 通りです。

次に、残りの6人を並べます。並べ方は $6!$ 通りです。

したがって、並べ方は $20 \times 6!$ 通りです。

(4) 少なくとも一端に大人がくる場合

全体の並び方から、両端が子供である場合を除けば、少なくとも一端に大人がくる並び方が求められます。

全体の並び方は $8!$ 通りです。

両端が子供である場合は $(3)$ で求めたように $20 \times 6!$ 通りです。

したがって、並べ方は $8! - 20 \times 6!$ 通りです。

(5) どの大人も隣り合わない場合

まず、子供5人を並べます。並べ方は $5!$ 通りです。

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$

次に、子供たちの間の6つのスペース（両端を含む）から3つを選んで、そこに大人を1人ずつ並べます。

スペースの選び方は ${}_6P_3$ 通りです。

${}_6P_3 = 6 \times 5 \times 4$

したがって、並べ方は $5! \times {}_6P_3$ 通りです。

3. 最終的な答え

(1) $8! = 40320$ 通り

(2) $6! \times 3! = 720 \times 6 = 4320$ 通り

(3) $20 \times 6! = 20 \times 720 = 14400$ 通り

(4) $8! - 20 \times 6! = 40320 - 14400 = 25920$ 通り

(5) $5! \times {}_6P_3 = 120 \times 120 = 14400$ 通り