全体集合 $U$ を25以下の自然数全体の集合とし、$U$ の部分集合 $A, B, C$ が与えられています。 $A = \{x \mid x \text{ は24の約数}\}$ $B = \{x \mid 3 \le x \le 23\}$ $C = \{x \mid x \text{ は奇数}\}$ このとき、以下の集合を求めます。 (1) $\overline{B}$ (2) $A \cap \overline{B}$ (3) $A \cap B \cap \overline{C}$

1. 問題の内容

全体集合 $U$ を25以下の自然数全体の集合とし、$U$ の部分集合 $A, B, C$ が与えられています。

$A = \{x \mid x \text{ は24の約数}\}$

$B = \{x \mid 3 \le x \le 23\}$

$C = \{x \mid x \text{ は奇数}\}$

このとき、以下の集合を求めます。

(1) $\overline{B}$

(2) $A \cap \overline{B}$

(3) $A \cap B \cap \overline{C}$

2. 解き方の手順

(1) $\overline{B}$ を求める。

$B = \{3, 4, 5, \dots, 23\}$ であるから、$\overline{B}$ は $U$ から $B$ の要素を除いた集合である。$U$ は25以下の自然数全体の集合、つまり $U = \{1, 2, 3, \dots, 25\}$ である。したがって、

$\overline{B} = \{1, 2, 24, 25\}$

(2) $A \cap \overline{B}$ を求める。

$A$ は24の約数の集合なので、$A = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\}$ である。

$\overline{B} = \{1, 2, 24, 25\}$ であるから、$A \cap \overline{B}$ は $A$ と $\overline{B}$ の共通部分である。

$A \cap \overline{B} = \{1, 2, 24\}$

(3) $A \cap B \cap \overline{C}$ を求める。

$A = \{1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24\}$

$B = \{3, 4, 5, \dots, 23\}$

$C$ は奇数の集合なので、$C = \{1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25\}$

$\overline{C}$ は $C$ の補集合なので、$\overline{C}$ は偶数の集合である。

$\overline{C} = \{2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24\}$

$A \cap B = \{3, 4, 6, 8, 12, 24\}$

$(A \cap B) \cap \overline{C}$ は $A \cap B$ と $\overline{C}$ の共通部分である。

$(A \cap B) \cap \overline{C} = \{4, 6, 8, 12, 24\}$

3. 最終的な答え

(1) $\overline{B} = \{1, 2, 24, 25\}$

(2) $A \cap \overline{B} = \{1, 2, 24\}$

(3) $A \cap B \cap \overline{C} = \{4, 6, 8, 12, 24\}$