地上39.2mの高さの塔の上から、小球を水平から30°上方に初速度19.6m/sで投げたときの、以下の4つの問いに答える問題です。 (1) 小球が最高点に達するまでの時間 (2) 最高点の地上からの高さ (3) 小球が地面に達するまでの時間 (4) 小球が塔の真下からどれだけ離れた地点に落下するか

はい、承知いたしました。問題文を丁寧に読み解き、解答を作成します。

1. 問題の内容

地上39.2mの高さの塔の上から、小球を水平から30°上方に初速度19.6m/sで投げたときの、以下の4つの問いに答える問題です。

(1) 小球が最高点に達するまでの時間

(2) 最高点の地上からの高さ

(3) 小球が地面に達するまでの時間

(4) 小球が塔の真下からどれだけ離れた地点に落下するか

2. 解き方の手順

(1) 最高点に達するまでの時間

初速度の鉛直成分 $v_{0y}$ を求めます。

$v_{0y} = 19.6 \cdot \sin(30^\circ) = 19.6 \cdot 0.5 = 9.8 \text{ m/s}$

最高点では鉛直方向の速度が0になるので、等加速度運動の公式 $v_y = v_{0y} - gt$ より、最高点に達するまでの時間 $t$ は以下のようになります。

$0 = 9.8 - 9.8t$

$t = 1.0 \text{ s}$

(2) 最高点の高さ

最高点までの鉛直方向の変位 $y$ は、等加速度運動の公式 $y = v_{0y}t - \frac{1}{2}gt^2$ より、

$y = 9.8 \cdot 1.0 - \frac{1}{2} \cdot 9.8 \cdot (1.0)^2 = 9.8 - 4.9 = 4.9 \text{ m}$

したがって、最高点の地上からの高さは $39.2 + 4.9 = 44.1 \text{ m}$

(3) 地面に達するまでの時間

初めの高さを $h_0 = 39.2 \text{ m}$ とすると、地面に達するまでの時間 $T$ は、鉛直方向の変位が $-h_0$ となる時間です。等加速度運動の公式 $y = v_{0y}T - \frac{1}{2}gT^2$ より、

$-39.2 = 9.8T - 4.9T^2$

$4.9T^2 - 9.8T - 39.2 = 0$

$T^2 - 2T - 8 = 0$

$(T - 4)(T + 2) = 0$

$T > 0$ なので、$T = 4.0 \text{ s}$

(4) 塔の真下からの距離

初速度の水平成分 $v_{0x}$ を求めます。

$v_{0x} = 19.6 \cdot \cos(30^\circ) = 19.6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 19.6 \cdot 0.866 \approx 16.97 \text{ m/s}$

水平方向には等速運動をするので、地面に達するまでの水平方向の移動距離 $x$ は、

$x = v_{0x}T = 16.97 \cdot 4.0 \approx 67.88 \text{ m}$

3. 最終的な答え

(1) 1.0 s

(2) 44.1 m

(3) 4.0 s

(4) 67.88 m (約67.9 m)