問題は全部で3つのパートに分かれています。 * パート1: $x$軸上を運動する物体の、異なる時刻における位置座標が与えられたとき、その間の平均速度と平均の速さを計算します。 * パート2: $x$軸上を運動する物体の、時刻 $t$ における位置座標 $x(t)$ が式で与えられたとき、時刻 $t$ での物体の速度の $x$ 成分 $v_x(t)$ を求めます。 * パート3: $x$軸上を運動する物体の、時刻 $t$ における位置 $x(t)$ が式で与えられたとき、時刻 $t$ における物体の速度の $x$ 成分 $v_x(t)$ を求め、物体が原点を2度通過する時刻を求めます。

1. 問題の内容

問題は全部で3つのパートに分かれています。

* パート1: $x$軸上を運動する物体の、異なる時刻における位置座標が与えられたとき、その間の平均速度と平均の速さを計算します。

* パート2: $x$軸上を運動する物体の、時刻 $t$ における位置座標 $x(t)$ が式で与えられたとき、時刻 $t$ での物体の速度の $x$ 成分 $v_x(t)$ を求めます。

* パート3: $x$軸上を運動する物体の、時刻 $t$ における位置 $x(t)$ が式で与えられたとき、時刻 $t$ における物体の速度の $x$ 成分 $v_x(t)$ を求め、物体が原点を2度通過する時刻を求めます。

2. 解き方の手順

**パート1**

平均速度は、変位を時間間隔で割ったものです。平均の速さは、移動距離を時間間隔で割ったものです。

(1) 時刻 $t=0$ での位置は $x(0) = 20$ m、時刻 $t=5$ での位置は $x(5) = 45$ m です。

* 平均速度 $= \frac{x(5) - x(0)}{5 - 0} = \frac{45 - 20}{5} = \frac{25}{5} = 5$ m/s

この場合は運動が一方向なので、平均の速さも5m/sになる。

* 平均の速さ $= 5$ m/s

(2) 時刻 $t=2.7$ での位置は $x(2.7) = 18$ m、時刻 $t=3$ での位置は $x(3) = 12$ m です。

* 平均速度 $= \frac{x(3) - x(2.7)}{3 - 2.7} = \frac{12 - 18}{0.3} = \frac{-6}{0.3} = -20$ m/s

この場合は運動の向きが変わっているので、平均の速さは単純な計算では求めることができない。しかし、問題文では平均の速さを求めるように指示されている。

ここでは速度が一定と仮定すると、$x(t) = vt + x_0$という式が成り立つ。

これに$x(2.7) = 18, x(3) = 12$を代入すると、

$18 = 2.7v + x_0$

$12 = 3v + x_0$

これらの式から、$v = -20$となる。

したがって、$x(t) = -20t + x_0$。

$12 = -20 * 3 + x_0$

$x_0 = 72$

$x(t) = -20t + 72$

この運動は時間$t=2.7$から$t=3$の間で一方向に運動しているので、移動距離は$|12-18| = 6$m。

* 平均の速さ $= \frac{6}{0.3} = 20$ m/s

**パート2**

速度は、位置の時間微分で求められます。

(1) $x(t) = -4.0$

$v_x(t) = \frac{d}{dt} x(t) = 0$ m/s

(2) $x(t) = 7.2t$

$v_x(t) = \frac{d}{dt} x(t) = 7.2$ m/s

(3) $x(t) = -1.4t - 26$

$v_x(t) = \frac{d}{dt} x(t) = -1.4$ m/s

(4) $x(t) = -2.0t^2 + 15t$

$v_x(t) = \frac{d}{dt} x(t) = -4.0t + 15$ m/s

**パート3**

(1) $x(t) = -5.0t^2 + 40t$

$v_x(t) = \frac{d}{dt} x(t) = -10t + 40$ m/s

(2) 物体が原点を通過するとき、$x(t) = 0$ となります。

$-5.0t^2 + 40t = 0$

$t(-5.0t + 40) = 0$

したがって、$t = 0$ または $-5.0t + 40 = 0$

$-5.0t = -40$

$t = \frac{-40}{-5.0} = 8$

3. 最終的な答え

**パート1**

(1) 平均速度: 5 m/s, 平均の速さ: 5 m/s

(2) 平均速度: -20 m/s, 平均の速さ: 20 m/s

**パート2**

(1) $v_x(t) = 0$ m/s

(2) $v_x(t) = 7.2$ m/s

(3) $v_x(t) = -1.4$ m/s

(4) $v_x(t) = -4.0t + 15$ m/s

**パート3**

(1) $v_x(t) = -10t + 40$ m/s

(2) $t = 0$ s, $t = 8$ s