ベクトル $\vec{a} = (1, 1, 2)$ と $\vec{b} = (2, -1, 1)$ が与えられたとき、$|\vec{a} + t\vec{b}|$ を最小にする実数 $t$ の値と、そのときの $|\vec{a} + t\vec{b}|$ の最小値を求める。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a} = (1, 1, 2)$ と $\vec{b} = (2, -1, 1)$ が与えられたとき、$|\vec{a} + t\vec{b}|$ を最小にする実数 $t$ の値と、そのときの $|\vec{a} + t\vec{b}|$ の最小値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$\vec{a} + t\vec{b}$ を計算する。

$$\vec{a} + t\vec{b} = (1, 1, 2) + t(2, -1, 1) = (1 + 2t, 1 - t, 2 + t)$$

次に、$|\vec{a} + t\vec{b}|^2$ を計算する。

\begin{align*}|\vec{a} + t\vec{b}|^2 &= (1 + 2t)^2 + (1 - t)^2 + (2 + t)^2 \\ &= (1 + 4t + 4t^2) + (1 - 2t + t^2) + (4 + 4t + t^2) \\ &= 6t^2 + 6t + 6\end{align*}

$|\vec{a} + t\vec{b}|^2$ を最小にする $t$ の値を求める。$|\vec{a} + t\vec{b}|^2$ は $t$ の二次関数なので、平方完成することで最小値を求めることができる。

$$6t^2 + 6t + 6 = 6(t^2 + t) + 6 = 6\left(t + \frac{1}{2}\right)^2 - 6\left(\frac{1}{4}\right) + 6 = 6\left(t + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{9}{2}$$

したがって、$|\vec{a} + t\vec{b}|^2$ は $t = -\frac{1}{2}$ のとき最小値 $\frac{9}{2}$ をとる。

このとき、$|\vec{a} + t\vec{b}|$ も最小となり、その値は $\sqrt{\frac{9}{2}} = \frac{3}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{2}$ である。

3. 最終的な答え

$t = -\frac{1}{2}$ のとき、$|\vec{a} + t\vec{b}|$ は最小値 $\frac{3\sqrt{2}}{2}$ をとる。

$t = -\frac{1}{2}$

最小値 $= \frac{3\sqrt{2}}{2}$