与えられた関数 $f(x)$ をマクローリン展開し、$O(x^5)$ の項まで求め、指定された次数の近似多項式をグラフ上に $f(x)$ とともに図示する問題です。さらに、多項式展開の次数を増やすと近似がどのように変化するかを説明し、オイラーの公式 $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ と $e^{-i\theta} = \cos\theta - i\sin\theta$ が成り立つことを説明します。関数は以下の通りです。 (a) $f(x) = \frac{1}{1+x}$ (b) $f(x) = \sin x$ (c) $f(x) = \cos x$ (d) $f(x) = \exp(x)$ (e) $f(x) = \tanh x$

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x)$ をマクローリン展開し、$O(x^5)$ の項まで求め、指定された次数の近似多項式をグラフ上に $f(x)$ とともに図示する問題です。さらに、多項式展開の次数を増やすと近似がどのように変化するかを説明し、オイラーの公式 $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ と $e^{-i\theta} = \cos\theta - i\sin\theta$ が成り立つことを説明します。関数は以下の通りです。

(a) $f(x) = \frac{1}{1+x}$

(b) $f(x) = \sin x$

(c) $f(x) = \cos x$

(d) $f(x) = \exp(x)$

(e) $f(x) = \tanh x$

2. 解き方の手順

まず、各関数 $f(x)$ のマクローリン展開を求めます。マクローリン展開は以下の式で表されます。

$f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \dots$

各関数について、必要な次数の導関数を計算し、それらを $x=0$ で評価してマクローリン展開の係数を求めます。そして、$O(x^5)$ の項まで求めます。指示された次数で打ち切った多項式を元の関数 $f(x)$ とともにグラフ上に図示します。

(a) $f(x) = \frac{1}{1+x}$

$f(0) = 1$, $f'(x) = -\frac{1}{(1+x)^2}$, $f'(0) = -1$, $f''(x) = \frac{2}{(1+x)^3}$, $f''(0) = 2$, $f'''(x) = -\frac{6}{(1+x)^4}$, $f'''(0) = -6$

1次近似: $1 - x$

2次近似: $1 - x + x^2$

3次近似: $1 - x + x^2 - x^3$

(b) $f(x) = \sin x$

$f(0) = 0$, $f'(x) = \cos x$, $f'(0) = 1$, $f''(x) = -\sin x$, $f''(0) = 0$, $f'''(x) = -\cos x$, $f'''(0) = -1$

1次近似: $x$

3次近似: $x - \frac{x^3}{3!}= x - \frac{x^3}{6}$

(c) $f(x) = \cos x$

$f(0) = 1$, $f'(x) = -\sin x$, $f'(0) = 0$, $f''(x) = -\cos x$, $f''(0) = -1$, $f'''(x) = \sin x$, $f'''(0) = 0$, $f^{(4)}(x) = \cos x$, $f^{(4)}(0) = 1$

2次近似: $1 - \frac{x^2}{2!}=1 - \frac{x^2}{2}$

4次近似: $1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} = 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}$

(d) $f(x) = \exp(x)$

$f(0) = 1$, $f'(x) = e^x$, $f'(0) = 1$, $f''(x) = e^x$, $f''(0) = 1$, $f'''(x) = e^x$, $f'''(0) = 1$

1次近似: $1 + x$

2次近似: $1 + x + \frac{x^2}{2!}= 1 + x + \frac{x^2}{2}$

3次近似: $1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} = 1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}$

(e) $f(x) = \tanh x$

$f(0) = 0$, $f'(x) = \text{sech}^2 x$, $f'(0) = 1$, $f''(x) = -2\text{sech}^2 x \tanh x$, $f''(0) = 0$, $f'''(x) = 4\text{sech}^2 x \tanh^2 x - 2 \text{sech}^4 x$, $f'''(0) = -2$

1次近似: $x$

3次近似: $x - \frac{2}{3!}x^3 = x - \frac{x^3}{3}$

(f) 多項式展開の次数を増やすと、近似区間が広がります。つまり、元の関数 $f(x)$ と近似多項式のグラフが一致する範囲が広がります。

(g) オイラーの公式

$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$

$e^{-i\theta} = \cos(-\theta) + i\sin(-\theta) = \cos\theta - i\sin\theta$

$\cos(-\theta) = \cos(\theta)$ と $\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$ を用いました。

3. 最終的な答え

(a)

1次近似: $1 - x$

2次近似: $1 - x + x^2$

3次近似: $1 - x + x^2 - x^3$

(b)

1次近似: $x$

3次近似: $x - \frac{x^3}{6}$

(c)

2次近似: $1 - \frac{x^2}{2}$

4次近似: $1 - \frac{x^2}{2} + \frac{x^4}{24}$

(d)

1次近似: $1 + x$

2次近似: $1 + x + \frac{x^2}{2}$

3次近似: $1 + x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{6}$

(e)

1次近似: $x$

3次近似: $x - \frac{x^3}{3}$

(f) 多項式展開の次数を増やすと、近似区間が広がる。

(g) $e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$ と $e^{-i\theta} = \cos\theta - i\sin\theta$。