一辺の長さが2の正三角形ABCにおいて、辺BCの中点をDとするとき、以下のベクトルの内積を求めます。 (1) $\vec{BA} \cdot \vec{BC}$ (2) $\vec{AB} \cdot \vec{AD}$ (3) $\vec{AC} \cdot \vec{CB}$ (4) $\vec{DC} \cdot \vec{CB}$ (5) $\vec{AD} \cdot \vec{BC}$ (6) $\vec{AD} \cdot \vec{CA}$

1. 問題の内容

一辺の長さが2の正三角形ABCにおいて、辺BCの中点をDとするとき、以下のベクトルの内積を求めます。

(1) $\vec{BA} \cdot \vec{BC}$

(2) $\vec{AB} \cdot \vec{AD}$

(3) $\vec{AC} \cdot \vec{CB}$

(4) $\vec{DC} \cdot \vec{CB}$

(5) $\vec{AD} \cdot \vec{BC}$

(6) $\vec{AD} \cdot \vec{CA}$

2. 解き方の手順

内積の定義 $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos{\theta}$ を利用します。

(1) $\vec{BA} \cdot \vec{BC} = |\vec{BA}| |\vec{BC}| \cos{60^{\circ}} = 2 \cdot 2 \cdot \frac{1}{2} = 2$

(2) $\vec{AB} \cdot \vec{AD}$

$|\vec{AD}| = \sqrt{2^2 - 1^2} = \sqrt{3}$

$\vec{AB} \cdot \vec{AD} = |\vec{AB}| |\vec{AD}| \cos{30^{\circ}} = 2 \cdot \sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3$

(3) $\vec{AC} \cdot \vec{CB} = |\vec{AC}| |\vec{CB}| \cos{120^{\circ}} = 2 \cdot 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = -2$

(4) $\vec{DC} \cdot \vec{CB} = |\vec{DC}| |\vec{CB}| \cos{0^{\circ}} = 1 \cdot 2 \cdot 1 = 2$

(5) $\vec{AD} \cdot \vec{BC} = |\vec{AD}| |\vec{BC}| \cos{90^{\circ}} = \sqrt{3} \cdot 2 \cdot 0 = 0$

(6) $\vec{AD} \cdot \vec{CA} = |\vec{AD}| |\vec{CA}| \cos{150^{\circ}} = \sqrt{3} \cdot 2 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -3$

3. 最終的な答え

(1) 2

(2) 3

(3) -2

(4) 2

(5) 0

(6) -3