図の直角三角形ABCを用いて、$0 < x < 1$のとき、以下の等式を証明する。 $\sin^{-1} x = \cos^{-1} \sqrt{1-x^2}$

1. 問題の内容

図の直角三角形ABCを用いて、$0 < x < 1$のとき、以下の等式を証明する。

$\sin^{-1} x = \cos^{-1} \sqrt{1-x^2}$

2. 解き方の手順

(1) 図の直角三角形ABCにおいて、$\sin y = x$となる角yを考える。このとき、$y = \sin^{-1} x$となる。

(2) 直角三角形ABCにおいて、三平方の定理より、$AB^2 = AC^2 + BC^2$が成り立つ。与えられた条件より、$AC = x$、$BC = \sqrt{1-x^2}$であるから、$AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{x^2 + (1-x^2)} = \sqrt{1} = 1$となる。

(3) 次に、$\cos y$の値を計算する。直角三角形ABCにおいて、$\cos y = \frac{BC}{AB}$であるから、$\cos y = \frac{\sqrt{1-x^2}}{1} = \sqrt{1-x^2}$となる。

(4) よって、$y = \cos^{-1} \sqrt{1-x^2}$となる。

(5) (1)と(4)より、$y = \sin^{-1} x$かつ$y = \cos^{-1} \sqrt{1-x^2}$であるから、$\sin^{-1} x = \cos^{-1} \sqrt{1-x^2}$が成り立つ。

3. 最終的な答え

$\sin^{-1} x = \cos^{-1} \sqrt{1-x^2}$