与えられた問題は、三角比、三角関数に関する計算問題です。具体的には、三角形の辺の長さを求めたり、三角関数の値を計算したり、三角関数の関係式を用いて値を求めたりする問題です。

1. 問題の内容

与えられた問題は、三角比、三角関数に関する計算問題です。具体的には、三角形の辺の長さを求めたり、三角関数の値を計算したり、三角関数の関係式を用いて値を求めたりする問題です。

2. 解き方の手順

順番に問題を解いていきます。

1. $\triangle ABC$ において、$\angle ABC = 90^{\circ}$, $\angle CAB = 36^{\circ}$, $AC = 8$ のとき、$AB$ と $BC$ を求めます。

- $AB = AC \cdot \cos 36^{\circ} = 8 \cdot \cos 36^{\circ}$

- $BC = AC \cdot \sin 36^{\circ} = 8 \cdot \sin 36^{\circ}$

三角関数表より、$\cos 36^{\circ} \approx 0.8090$, $\sin 36^{\circ} \approx 0.5878$

- $AB \approx 8 \cdot 0.8090 = 6.472 \approx 6.5$

- $BC \approx 8 \cdot 0.5878 = 4.7024 \approx 4.7$

2. 三角関数表を用いて、次の三角比を求めます。

(1) $\sin 138^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 42^{\circ}) = \sin 42^{\circ} \approx 0.6691 \approx 0.67$

(2) $\cos 116^{\circ} = -\cos(180^{\circ} - 116^{\circ}) = -\cos 64^{\circ} \approx -0.4384 \approx -0.44$

(3) $\tan 142^{\circ} = -\tan(180^{\circ} - 142^{\circ}) = -\tan 38^{\circ} \approx -0.7813 \approx -0.78$

3. $\alpha$ が鈍角で、$\tan \alpha = -2\sqrt{2}$ のとき、$\cos \alpha$ と $\sin \alpha$ を求めます。

$\tan^2 \alpha + 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$ より、

$(-2\sqrt{2})^2 + 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$

$8 + 1 = \frac{1}{\cos^2 \alpha}$

$\cos^2 \alpha = \frac{1}{9}$

$\cos \alpha = \pm \frac{1}{3}$

$\alpha$ は鈍角なので、$\cos \alpha = -\frac{1}{3}$

$\sin \alpha = \tan \alpha \cdot \cos \alpha = -2\sqrt{2} \cdot (-\frac{1}{3}) = \frac{2\sqrt{2}}{3}$

4. $\alpha$ が鈍角で、$\cos \alpha = -\frac{3}{5}$ のとき、$\sin \alpha$ と $\tan \alpha$ を求めます。

$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ より、

$\sin^2 \alpha = 1 - (-\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

$\sin \alpha = \pm \frac{4}{5}$

$\alpha$ は鈍角なので、$\sin \alpha = \frac{4}{5}$

$\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{4}{5}}{-\frac{3}{5}} = -\frac{4}{3}$

従って、$\frac{5 \sin \alpha - 2}{6 \tan \alpha + 7} = \frac{5 \cdot \frac{4}{5} - 2}{6 \cdot (-\frac{4}{3}) + 7} = \frac{4 - 2}{-8 + 7} = \frac{2}{-1} = -2$

3. 最終的な答え

1. ア: 6.5, イ: 4.7

2. ウ: 0.67, エ: -0.44, オ: -0.78

3. カ: $-\frac{1}{3}$, キ: $\frac{2}{3}$

4. ク: $\frac{4}{5}$, ケ: $-\frac{4}{3}$, コ: -2