5つの数 $0$, $1$, $a = \log_2 3$, $b = \log_3 2$, $c = \log_4 8$ を小さい順に並べる問題です。

1. 問題の内容

5つの数 $0$, $1$, $a = \log_2 3$, $b = \log_3 2$, $c = \log_4 8$ を小さい順に並べる問題です。

2. 解き方の手順

まず、$a$, $b$, $c$ の値を評価します。

* $a = \log_2 3$ について：

$2^1 = 2 < 3 < 2^2 = 4$ より、$1 < \log_2 3 < 2$ であるため、$1 < a < 2$ がわかります。

* $b = \log_3 2$ について：

$3^0 = 1 < 2 < 3^1 = 3$ より、$0 < \log_3 2 < 1$ であるため、$0 < b < 1$ がわかります。

* $c = \log_4 8$ について：

$c = \log_4 8 = \log_{2^2} 2^3 = \frac{3}{2} \log_2 2 = \frac{3}{2} = 1.5$

したがって、$c = 1.5$ です。

これらの評価から、数の大小関係は次のようになります。

$0 < b < 1 < a, c$

$a$ と $c$ の大小を比較するために、$a = \log_2 3$ と $c = \frac{3}{2}$ を比較します。

$\log_2 3$ と $\frac{3}{2}$ の大小を比較するために、$2^{\frac{3}{2}}$ と $3$ の大小を比較します。

$2^{\frac{3}{2}} = 2 \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2\sqrt{2} \approx 2(1.414) = 2.828 < 3$

よって、$\frac{3}{2} > \log_2 3$ より、$c > a$ がわかります。

したがって、小さい順に並べると、$0 < b < 1 < a < c$ となります。

3. 最終的な答え

$0 < b < 1 < a < c$