座標平面上に2つの円 $C: x^2 + y^2 = 13$ と $C': x^2 + y^2 - 8x + 14y + 13 = 0$ がある。2つの円の2つの共通接線は点 (アイ, ウ) で交わり、共通接線 $l_1$, $l_2$ の方程式はそれぞれ $l_1$: エ $x$ + オ $y = 13$ 、$l_2$: カキ $x$ + $y$ = クケコ である。 (1) 円 $C$ と直線 $l_1$ の共有点の座標は (サ, シス) である。 (2) 2つの円の異なる2つの交点と $l_1$ 上の点 $P$ が同一直線上にあるとき、点 $P$ の座標は (セ, ソ) である。 (3) 円 $C$, $C'$ の中心をそれぞれ $O$, $O'$ とする。$l_1$ 上の点 $Q$ に対し、$OQ + O'Q$ が最小となるとき、$Q$ の座標は (タ, チツ) である。

1. 問題の内容

座標平面上に2つの円 $C: x^2 + y^2 = 13$ と $C': x^2 + y^2 - 8x + 14y + 13 = 0$ がある。2つの円の2つの共通接線は点 (アイ, ウ) で交わり、共通接線 $l_1$, $l_2$ の方程式はそれぞれ $l_1$: エ $x$ + オ $y = 13$ 、$l_2$: カキ $x$ + $y$ = クケコ である。

(1) 円 $C$ と直線 $l_1$ の共有点の座標は (サ, シス) である。

(2) 2つの円の異なる2つの交点と $l_1$ 上の点 $P$ が同一直線上にあるとき、点 $P$ の座標は (セ, ソ) である。

(3) 円 $C$, $C'$ の中心をそれぞれ $O$, $O'$ とする。$l_1$ 上の点 $Q$ に対し、$OQ + O'Q$ が最小となるとき、$Q$ の座標は (タ, チツ) である。

2. 解き方の手順

まず、$C'$ の方程式を平方完成する。

$x^2 - 8x + y^2 + 14y + 13 = 0$

$(x-4)^2 - 16 + (y+7)^2 - 49 + 13 = 0$

$(x-4)^2 + (y+7)^2 = 52$

したがって、円 $C$ の中心は原点 $O(0,0)$ 、半径は $\sqrt{13}$ 。円 $C'$ の中心は $O'(4, -7)$ 、半径は $\sqrt{52} = 2\sqrt{13}$ である。

次に、2つの円の共通接線の交点を求める。これは2つの円の中心を結ぶ直線と接線が垂直であることから求めることができる。2つの円の中心間の距離は $\sqrt{(4-0)^2 + (-7-0)^2} = \sqrt{16+49} = \sqrt{65}$ である。

2つの円の半径の比は $1:2$ なので、相似な関係にある。したがって、共通接線の交点は2つの円の中心を結ぶ線分を $1:2$ に外分する点となる。

交点の座標を $(x, y)$ とすると、

$x = \frac{1 \cdot 4 - 2 \cdot 0}{1-2} = \frac{4}{-1} = -4$

$y = \frac{1 \cdot (-7) - 2 \cdot 0}{1-2} = \frac{-7}{-1} = 7$

よって、共通接線の交点は $(-4, 7)$ 。したがって、アイ = -4、ウ = 7 である。

共通接線 $l_1$ の方程式は $2x+3y=13$ 。したがって、エ = 2、オ = 3 である。

（共通接線は２つ存在するが、条件を満たすのは $2x+3y=13$ のみである。）

共通接線 $l_2$ の方程式は $3x-2y = -26$。したがって、カキ = 3、クケコ = -26。

(1) 円 $C$ と直線 $l_1$ の共有点の座標を求める。

$x^2 + y^2 = 13$ と $2x+3y = 13$ より、

$2x = 13 - 3y$ なので、$x = \frac{13-3y}{2}$。

これを $x^2 + y^2 = 13$ に代入すると、

$(\frac{13-3y}{2})^2 + y^2 = 13$

$\frac{169 - 78y + 9y^2}{4} + y^2 = 13$

$169 - 78y + 9y^2 + 4y^2 = 52$

$13y^2 - 78y + 117 = 0$

$y^2 - 6y + 9 = 0$

$(y-3)^2 = 0$

$y = 3$

$x = \frac{13 - 3 \cdot 3}{2} = \frac{13-9}{2} = \frac{4}{2} = 2$

したがって、共有点の座標は $(2, 3)$ 。サ = 2、シス = 3 である。

(2) 2つの円の交点を通る直線は $C - C' = 0$ で与えられる。

$x^2 + y^2 - (x^2 + y^2 - 8x + 14y + 13) = 0$

$8x - 14y - 13 = 0$

$8x - 14y = 13$

この直線と $2x + 3y = 13$ の交点を求める。

$8x - 14y = 13$

$2x + 3y = 13$ より $2x = 13 - 3y$ なので $x = \frac{13-3y}{2}$

$8(\frac{13-3y}{2}) - 14y = 13$

$4(13-3y) - 14y = 13$

$52 - 12y - 14y = 13$

$39 = 26y$

$y = \frac{39}{26} = \frac{3}{2}$

$x = \frac{13 - 3 \cdot \frac{3}{2}}{2} = \frac{13 - \frac{9}{2}}{2} = \frac{\frac{26-9}{2}}{2} = \frac{17}{4}$

したがって、点 $P$ の座標は $(\frac{17}{4}, \frac{3}{2})$。セ = 17/4、ソ = 3/2 である。

(3) $O(0, 0)$, $O'(4, -7)$ であり、$l_1: 2x + 3y = 13$ 上の点 $Q$ に対して $OQ + O'Q$ が最小になるのは、$O, Q, O'$ が同一直線上にあるときである。

ただし、O, O' が $l_1$ に対して反対側にある必要がある。$O(0,0)$ を代入すると $2(0) + 3(0) = 0 < 13$ なので $O$ は $2x + 3y < 13$ 側にある。$O'(4, -7)$ を代入すると $2(4) + 3(-7) = 8 - 21 = -13 < 13$ なので $O'$ も $2x + 3y < 13$ 側にある。したがって $O, O'$ は $l_1$ に対して同じ側にあるので、$l_1$ に関して $O$ の対称点 $O''$ をとると、$OQ + O'Q = O''Q + O'Q$ より $O'', Q, O'$ が同一直線上にあるときに、$OQ + O'Q$ は最小となる。

点 $O(0,0)$ の直線 $2x+3y=13$ に関する対称点を $O''(a, b)$ とする。線分 $OO''$ の中点は $(\frac{a}{2}, \frac{b}{2})$ で、これが直線 $2x+3y=13$ 上にあるので、

$2(\frac{a}{2}) + 3(\frac{b}{2}) = 13$

$2a + 3b = 26$

また、直線 $OO''$ は直線 $2x+3y=13$ に垂直なので、傾きの積は -1。

$\frac{b-0}{a-0} \cdot (-\frac{2}{3}) = -1$

$\frac{b}{a} = \frac{3}{2}$

$2b = 3a$

$b = \frac{3}{2}a$

これを $2a + 3b = 26$ に代入すると、

$2a + 3(\frac{3}{2}a) = 26$

$2a + \frac{9}{2}a = 26$

$4a + 9a = 52$

$13a = 52$

$a = 4$

$b = \frac{3}{2} \cdot 4 = 6$

したがって $O''(4, 6)$

直線 $O'O''$ の方程式は、$O'(4,-7)$ と $O''(4,6)$ より、$x=4$

$Q$ は直線 $2x + 3y = 13$ 上にあるので、$2(4) + 3y = 13$

$8 + 3y = 13$

$3y = 5$

$y = \frac{5}{3}$

したがって、Q の座標は $(4, \frac{5}{3})$ 。タ = 4、チツ = 5/3 である。

3. 最終的な答え

アイ = -4、ウ = 7

エ = 2、オ = 3

カキ = 3、クケコ = -26

(1) サ = 2、シス = 3

(2) セ = 17/4、ソ = 3/2

(3) タ = 4、チツ = 5/3