与えられた5つの式を計算する問題です。 (1) $(x-1)(x-3)(x+1)(x+3)$ (2) $(x+2)(x+5)(x-4)(x-1)$ (3) $(a-b)(a+b)(a^2+b^2)(a^4+b^4)$ (4) $(2x-y)^3(2x+y)^3$ (5) $(a+b)^2(a-b)^2(a^4+a^2b^2+b^4)^2$

1. 問題の内容

与えられた5つの式を計算する問題です。

(1) $(x-1)(x-3)(x+1)(x+3)$

(2) $(x+2)(x+5)(x-4)(x-1)$

(3) $(a-b)(a+b)(a^2+b^2)(a^4+b^4)$

(4) $(2x-y)^3(2x+y)^3$

(5) $(a+b)^2(a-b)^2(a^4+a^2b^2+b^4)^2$

2. 解き方の手順

(1)

まず、$(x-1)(x+1)$と$(x-3)(x+3)$を計算します。

$(x-1)(x+1) = x^2 - 1$

$(x-3)(x+3) = x^2 - 9$

次に、$(x^2 - 1)(x^2 - 9)$を計算します。

$(x^2 - 1)(x^2 - 9) = x^4 - 9x^2 - x^2 + 9 = x^4 - 10x^2 + 9$

(2)

$(x+2)(x+5)(x-4)(x-1)$ を計算します。

$(x+2)(x-1)(x+5)(x-4)=(x^2+x-2)(x^2+x-20)$

$u = x^2+x$ と置換すると、 $(u-2)(u-20)=u^2 -22u+40 = (x^2+x)^2 -22(x^2+x)+40 = x^4 +2x^3+x^2-22x^2-22x+40 = x^4+2x^3-21x^2-22x+40$

(3)

$(a-b)(a+b)(a^2+b^2)(a^4+b^4)$ を計算します。

$(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$

$(a^2 - b^2)(a^2 + b^2) = a^4 - b^4$

$(a^4 - b^4)(a^4 + b^4) = a^8 - b^8$

(4)

$(2x-y)^3(2x+y)^3$ を計算します。

$(2x-y)^3(2x+y)^3 = [(2x-y)(2x+y)]^3$

$(2x-y)(2x+y) = 4x^2 - y^2$

$(4x^2 - y^2)^3 = (4x^2)^3 - 3(4x^2)^2(y^2) + 3(4x^2)(y^2)^2 - (y^2)^3 = 64x^6 - 48x^4y^2 + 12x^2y^4 - y^6$

(5)

$(a+b)^2(a-b)^2(a^4+a^2b^2+b^4)^2$ を計算します。

$(a+b)^2(a-b)^2 = [(a+b)(a-b)]^2 = (a^2 - b^2)^2 = a^4 - 2a^2b^2 + b^4$

$(a^4 - 2a^2b^2 + b^4)(a^4+a^2b^2+b^4)^2=(a^4-2a^2b^2+b^4)(a^8 +a^4b^4+b^8 + 2a^6b^2 + 2a^2b^6 + 2a^4b^4)=(a^4-2a^2b^2+b^4)(a^8+2a^6b^2+3a^4b^4+2a^2b^6+b^8) = a^{12}-b^{12}$

3. 最終的な答え

(1) $x^4 - 10x^2 + 9$

(2) $x^4 + 2x^3 - 21x^2 - 22x + 40$

(3) $a^8 - b^8$

(4) $64x^6 - 48x^4y^2 + 12x^2y^4 - y^6$

(5) $a^{12} - b^{12}$