実数 $m$ が $m > 0$ の範囲を動くとき、2直線 $(m-1)x - y + 1 = 0$ と $mx + (m-2)y + 2 = 0$ の交点の軌跡を求めよ。

1. 問題の内容

実数 $m$ が $m > 0$ の範囲を動くとき、2直線 $(m-1)x - y + 1 = 0$ と $mx + (m-2)y + 2 = 0$ の交点の軌跡を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、2つの直線の方程式を連立させて、交点の座標 $(x, y)$ を $m$ を用いて表します。

$(m-1)x - y + 1 = 0$ ... (2)

$mx + (m-2)y + 2 = 0$ ... (3)

(2)より、 $y = (m-1)x + 1$ ... (4)

(4)を(3)に代入します。

$mx + (m-2)((m-1)x + 1) + 2 = 0$

$mx + (m^2 - 3m + 2)x + m - 2 + 2 = 0$

$(m^2 - 2m + 2)x + m = 0$

$(m^2 - 2m + 2)x = -m$

$x = \frac{-m}{m^2 - 2m + 2}$ ... (5)

(5)を(4)に代入します。

$y = (m-1) \frac{-m}{m^2 - 2m + 2} + 1$

$y = \frac{-m^2 + m + m^2 - 2m + 2}{m^2 - 2m + 2}$

$y = \frac{-m + 2}{m^2 - 2m + 2}$ ... (6)

(5)と(6)から $m$ を消去します。

(5)より、$m^2x - 2mx + 2x = -m$

$m^2x - (2x-1)m + 2x = 0$ ... (7)

(6)より、$m^2y - 2my + 2y = -m + 2$

$m^2y - (2y-1)m + 2y - 2 = 0$ ... (8)

(7)と(8)を比較して、$x = y$ が解である可能性に注目し、実際に代入すると

(2)は$(m-1)x - x + 1 = 0$より、 $mx - 2x + 1 = 0$。

(3)は$mx + (m-2)x + 2 = 0$より、 $2mx - 2x + 2 = 0$つまり$mx - x + 1 = 0$。

両者は一致しないので$x \neq y$。

(5)より、$mx = -x(m^2 - 2m + 2)$ ... (9)

(6)より、$my = -y(m^2 - 2m + 2) + 2(m^2 - 2m + 2) - 2y$ ... (10)

(2),(3)をそれぞれ$m$で整理すると

$m(x+y) - x - 2y + 3 = 0$

$m = \frac{x+2y-3}{x+y}$

これを(5)に代入すると

$x = \frac{-\frac{x+2y-3}{x+y}}{(\frac{x+2y-3}{x+y})^2 - 2\frac{x+2y-3}{x+y} + 2}$

$x = \frac{-(x+2y-3)(x+y)}{(x+2y-3)^2 - 2(x+2y-3)(x+y) + 2(x+y)^2}$

$(2) \times x + (3) \times (-x)$, $(2) \times y + (3) \times (-y)$を計算することで、$m$を消去する。

(2)x + (3)(-x)より $-xy -2x+2=0$

よって、$xy+2x-2=0$

(2)y + (3)(-y)より、 $2y^{2}-2 y-y x+y+2 y-y m=0$

まず、2つの式を加えます。

$(m-1)x - y + 1 + mx + (m-2)y + 2 = 0$

$2mx - x - 3y + 3 + my = 0$

$m(2x+y) = x + 3y - 3$

$m = \frac{x+3y-3}{2x+y}$

(5)から、$m = \frac{-x}{x^2 - 2x + 2}$

(6)から、$m = \frac{2-y}{y^2 - 2y + 2}$

$\frac{-x}{x^2 - 2x + 2} = \frac{2-y}{y^2 - 2y + 2}$

$-x(y^2 - 2y + 2) = (2-y)(x^2 - 2x + 2)$

$-xy^2 + 2xy - 2x = 2x^2 - 4x + 4 - yx^2 + 2xy - 2y$

$yx^2 - xy^2 - 2x^2 + 2x + 2y - 4 = 0$

条件 $m > 0$ を考慮すると、 $x < 0$ かつ $y < 2$。

$xy+2x-2 = 0$より $x = \frac{2}{2+y}$

よって、$m = \frac{x+2y-3}{x+y} = \frac{\frac{2}{2+y}+2y-3}{\frac{2}{2+y}+y}>0$

最終的に、$xy+2x-2=0$と条件$x<0$，$y<2$，$x+2y<3$となります。

3. 最終的な答え

$xy+2x-2=0$ ($x < 0$ かつ $y < 2$ かつ $x+2y<3$)