与えられた式 $ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

与えられた式を展開し、次数が最も低い文字について整理します。今回はどの文字についても次数が同じなので、例えば $a$ について整理します。

まず、式を展開します。

$ab(a-b) + bc(b-c) + ca(c-a) = a^2b - ab^2 + b^2c - bc^2 + c^2a - ca^2$

次に、$a$ について整理します。

$a^2b - ab^2 + b^2c - bc^2 + c^2a - ca^2 = (b-c)a^2 - (b^2-c^2)a + (b^2c - bc^2)$

$a$ について整理すると、

$(b-c)a^2 - (b^2 - c^2)a + (b^2c - bc^2)$

共通因数をくくり出すことを考えます。

$(b-c)a^2 - (b+c)(b-c)a + bc(b-c)$

$(b-c)$ が共通因数なので、くくり出すと

$(b-c) [a^2 - (b+c)a + bc]$

次に、括弧の中身を因数分解します。

$(b-c)(a-b)(a-c)$

最後に、$(a-c)$ を $-(c-a)$ に書き換えて、見栄えを整えます。

$(b-c)(a-b)(a-c) = -(a-b)(b-c)(c-a)$

つまり、

$ab(a-b) + bc(b-c) + ca(c-a) = -(a-b)(b-c)(c-a)$

3. 最終的な答え

$-(a-b)(b-c)(c-a)$