定義域 $0 \le x \le 2$ を持つ関数 $f(x)$ が与えられています。 $f(x) = \begin{cases} 0 & (0 \le x \le \frac{1}{2}) \\ 2x^2 - \frac{1}{2} & (\frac{1}{2} \le x \le 2) \end{cases}$ この関数 $y = f(x)$ を $y$ 軸の周りに1回転させてできる曲面を容器とします。この容器に毎秒 $\pi$ の割合で水を注ぐとき、水を注ぎ始めてから5秒後の以下の問いに答えます。 (1) 水面の底面からの高さを求めなさい。 (2) 水面の上昇速度を求めなさい。

1. 問題の内容

定義域 $0 \le x \le 2$ を持つ関数 $f(x)$ が与えられています。

$f(x) = \begin{cases} 0 & (0 \le x \le \frac{1}{2}) \\ 2x^2 - \frac{1}{2} & (\frac{1}{2} \le x \le 2) \end{cases}$

この関数 $y = f(x)$ を $y$ 軸の周りに1回転させてできる曲面を容器とします。この容器に毎秒 $\pi$ の割合で水を注ぐとき、水を注ぎ始めてから5秒後の以下の問いに答えます。

(1) 水面の底面からの高さを求めなさい。

(2) 水面の上昇速度を求めなさい。

2. 解き方の手順

(1) 水を注ぎ始めてから5秒後の水の量は $5\pi$ です。

$y = f(x)$ を $y$ 軸の周りに回転させてできる容器の体積 $V$ を求めるために、y で積分します。

$0 \le x \le \frac{1}{2}$ のとき、$y=0$ です。

$\frac{1}{2} \le x \le 2$ のとき、$y = 2x^2 - \frac{1}{2}$ より、$2x^2 = y + \frac{1}{2}$ なので、$x^2 = \frac{1}{2}y + \frac{1}{4}$ となります。

水面の高さを $h$ とすると、体積 $V$ は、

$0 \le h \le 0$ のとき、$V = 0$

$0 \le y \le 7.5$ のとき体積は,

$V = \int_0^h \pi x^2 dy = \int_0^h \pi (\frac{1}{2}y + \frac{1}{4}) dy = \pi [\frac{1}{4}y^2 + \frac{1}{4}y]_0^h = \pi(\frac{1}{4}h^2 + \frac{1}{4}h)$

5秒後の水の量は $5\pi$ なので、

$\pi(\frac{1}{4}h^2 + \frac{1}{4}h) = 5\pi$

$\frac{1}{4}h^2 + \frac{1}{4}h = 5$

$h^2 + h = 20$

$h^2 + h - 20 = 0$

$(h+5)(h-4) = 0$

$h = -5, 4$

高さは正なので、$h = 4$

(2) 水面の上昇速度を求めます。

$V = \pi(\frac{1}{4}h^2 + \frac{1}{4}h)$

$\frac{dV}{dt} = \pi$ （毎秒 $\pi$ の割合で水を入れている）

$\frac{dV}{dh} = \pi (\frac{1}{2}h + \frac{1}{4})$

$\frac{dh}{dt} = \frac{dV/dt}{dV/dh} = \frac{\pi}{\pi(\frac{1}{2}h + \frac{1}{4})} = \frac{1}{\frac{1}{2}h + \frac{1}{4}}$

$h = 4$ のとき、

$\frac{dh}{dt} = \frac{1}{\frac{1}{2}(4) + \frac{1}{4}} = \frac{1}{2 + \frac{1}{4}} = \frac{1}{\frac{9}{4}} = \frac{4}{9}$

3. 最終的な答え

(1) 水面の底面からの高さ: 4

(2) 水面の上昇速度: $\frac{4}{9}$