不等式 $|a| + 2|b| \ge |a + 2b|$ を証明し、等号が成り立つときを調べる問題です。

1. 問題の内容

不等式 $|a| + 2|b| \ge |a + 2b|$ を証明し、等号が成り立つときを調べる問題です。

2. 解き方の手順

まず、両辺が0以上であることに注意して、両辺を2乗したものを考えます。

($|a| + 2|b|)^2 = |a|^2 + 4|a||b| + 4|b|^2 = a^2 + 4|ab| + 4b^2$

($|a + 2b|)^2 = (a + 2b)^2 = a^2 + 4ab + 4b^2$

不等式 $|a| + 2|b| \ge |a + 2b|$ を示すには、$(|a| + 2|b|)^2 \ge (|a + 2b|)^2$ を示せば十分です。

つまり、$a^2 + 4|ab| + 4b^2 \ge a^2 + 4ab + 4b^2$ を示す必要があります。

両辺から$a^2 + 4b^2$ を引くと、$4|ab| \ge 4ab$ となります。

これは、$|ab| \ge ab$ と同値です。

$|ab| \ge ab$ は常に成り立ちます。なぜなら、$ab$が正または0の場合、$|ab| = ab$となり、$ab$が負の場合、$|ab| = -ab > ab$ となるからです。

したがって、$|a| + 2|b| \ge |a + 2b|$ は証明されました。

次に、等号が成り立つ場合を調べます。

等号が成り立つのは、$|ab| = ab$のときです。

これは、$ab \ge 0$ のときです。

したがって、$a \ge 0$ かつ $b \ge 0$、または、$a \le 0$ かつ $b \le 0$のとき、または、$a=0$または$b=0$のとき等号が成立します。

3. 最終的な答え

不等式 $|a| + 2|b| \ge |a + 2b|$ は証明された。

等号が成り立つのは、$ab \ge 0$のときである。つまり、$a \ge 0$ かつ $b \ge 0$、または、$a \le 0$ かつ $b \le 0$のとき、または、$a=0$または$b=0$のとき。