三角形ABCにおいて、辺BC, CA, AB上にそれぞれ点P, Q, Rがあり、線分AP, BQ, CRは一点Oで交わっている。 (1) 線分の長さの比CQ:QAを求める。 (2) 線分の長さの比AR:RBを求める。 図から、BP:PC = 4:5, AQ:QC = 3:x, AR:RB = y:4 となっている。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、辺BC, CA, AB上にそれぞれ点P, Q, Rがあり、線分AP, BQ, CRは一点Oで交わっている。

(1) 線分の長さの比CQ:QAを求める。

(2) 線分の長さの比AR:RBを求める。

図から、BP:PC = 4:5, AQ:QC = 3:x, AR:RB = y:4 となっている。

2. 解き方の手順

チェバの定理を用いる。チェバの定理とは、三角形ABCの内部に点Oがあり、AO, BO, COと対辺との交点をそれぞれP, Q, Rとするとき、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

が成立する。

(1) CQ:QA を求める。

チェバの定理より、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{y}{4} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{x}{3} = 1$

$\frac{yx}{15} = 1$

$yx = 15$

問題文より、AQ:QC=3:x とおいたので、CQ:QA = x:3となる。

したがって、CQ:QA = x:3。

また、AQ = 3, QC = 5 とおくと BP:PC = 4:5なので、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{3} = 1$

$\frac{AR}{RB} = \frac{3}{4}$

AR:RB = 3:4

次に、問題文の与えられた情報から CQ=5, QA=3であるため、CQ:QA = 5:3となる。

(2) AR:RB を求める。

チェバの定理より、

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{BP}{PC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1$

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{5}{3} = 1$

$\frac{AR}{RB} \cdot \frac{4}{3} = 1$

$\frac{AR}{RB} = \frac{3}{4}$

3. 最終的な答え

(1) CQ:QA = 5:3

(2) AR:RB = 3:4