(1) $3^x = 72$ を満たす $x$ の値を、$a + b \cdot \log_3 c$ の形で求める。 (2) $\log_2 x = \frac{5}{2}$ を満たす $x$ の値を、$a\sqrt{b}$ の形で求める。 (3) $\log_2 243$ を、3を底とする対数で表す。 (4) $81^{\log_3 2}$ の値を求める。

1. 問題の内容

(1) $3^x = 72$ を満たす $x$ の値を、$a + b \cdot \log_3 c$ の形で求める。

(2) $\log_2 x = \frac{5}{2}$ を満たす $x$ の値を、$a\sqrt{b}$ の形で求める。

(3) $\log_2 243$ を、3を底とする対数で表す。

(4) $81^{\log_3 2}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $3^x = 72$

両辺の3を底とする対数をとると、

$\log_3 3^x = \log_3 72$

$x = \log_3 (8 \times 9)$

$x = \log_3 (2^3 \times 3^2)$

$x = \log_3 2^3 + \log_3 3^2$

$x = 3\log_3 2 + 2$

$x = 2 + 3\log_3 2$

(2) $\log_2 x = \frac{5}{2}$

対数の定義より、

$x = 2^{\frac{5}{2}}$

$x = 2^{2+\frac{1}{2}}$

$x = 2^2 \cdot 2^{\frac{1}{2}}$

$x = 4\sqrt{2}$

(3) $\log_2 243 = \log_2 3^5$

$\log_2 3^5 = 5\log_2 3$

底の変換公式より、

$\log_2 3 = \frac{\log_3 3}{\log_3 2} = \frac{1}{\log_3 2}$

よって、

$\log_2 243 = \frac{5}{\log_3 2}$

(4) $81^{\log_3 2}$

$81 = 3^4$なので

$81^{\log_3 2} = (3^4)^{\log_3 2} = 3^{4\log_3 2}$

$3^{4\log_3 2} = 3^{\log_3 2^4} = 3^{\log_3 16}$

対数の定義より、

$3^{\log_3 16} = 16$

3. 最終的な答え

(1) $x = 2 + 3\log_3 2$

(2) $x = 4\sqrt{2}$

(3) $\frac{5}{\log_3 2}$

(4) 16