$x = \sqrt{5} - 2$ のとき、以下の式の値を求めます。 (1) $x + \frac{1}{x}$ (3) $x^3 - \frac{1}{x^3}$ (4) $x^4 - \frac{1}{x^4}$

1. 問題の内容

$x = \sqrt{5} - 2$ のとき、以下の式の値を求めます。

(1) $x + \frac{1}{x}$

(3) $x^3 - \frac{1}{x^3}$

(4) $x^4 - \frac{1}{x^4}$

2. 解き方の手順

(1) $x + \frac{1}{x}$

まず、$\frac{1}{x}$を計算します。

$\frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{5} - 2}$

分母の有理化を行います。

$\frac{1}{x} = \frac{1}{\sqrt{5} - 2} \times \frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} + 2} = \frac{\sqrt{5} + 2}{5 - 4} = \sqrt{5} + 2$

したがって、

$x + \frac{1}{x} = (\sqrt{5} - 2) + (\sqrt{5} + 2) = 2\sqrt{5}$

(3) $x^3 - \frac{1}{x^3}$

$x^3 - \frac{1}{x^3} = (x - \frac{1}{x})^3 + 3(x - \frac{1}{x})$

$x - \frac{1}{x} = (\sqrt{5} - 2) - (\sqrt{5} + 2) = -4$

$x^3 - \frac{1}{x^3} = (-4)^3 + 3(-4) = -64 - 12 = -76$

(4) $x^4 - \frac{1}{x^4}$

$x^4 - \frac{1}{x^4} = (x^2 + \frac{1}{x^2})(x^2 - \frac{1}{x^2}) = (x^2 + \frac{1}{x^2})(x + \frac{1}{x})(x - \frac{1}{x})$

$x + \frac{1}{x} = 2\sqrt{5}$

$x - \frac{1}{x} = -4$

$(x+\frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2}$

$x^2 + \frac{1}{x^2} = (x+\frac{1}{x})^2 - 2 = (2\sqrt{5})^2 - 2 = 20 - 2 = 18$

$x^4 - \frac{1}{x^4} = (18)(2\sqrt{5})(-4) = -144\sqrt{5}$

3. 最終的な答え

(1) $2\sqrt{5}$

(3) $-76$

(4) $-144\sqrt{5}$