$\log_{10}2 = 0.3010$、$\log_{10}3 = 0.4771$ のとき、$18^{50}$ は何桁の整数か。

1. 問題の内容

$\log_{10}2 = 0.3010$、$\log_{10}3 = 0.4771$ のとき、$18^{50}$ は何桁の整数か。

2. 解き方の手順

$18^{50}$ の桁数を求めるために、まず $\log_{10}(18^{50})$ を計算します。

$\log_{10}(18^{50}) = 50 \log_{10}18$ となります。

ここで、18を素因数分解すると $18 = 2 \times 3^2$ なので、

$\log_{10}18 = \log_{10}(2 \times 3^2) = \log_{10}2 + \log_{10}3^2 = \log_{10}2 + 2\log_{10}3$

与えられた値を代入すると、

$\log_{10}18 = 0.3010 + 2 \times 0.4771 = 0.3010 + 0.9542 = 1.2552$

したがって、$\log_{10}(18^{50}) = 50 \times 1.2552 = 62.76$

$18^{50}$ の桁数は、$\log_{10}(18^{50})$ の整数部分に1を加えたものなので、 $62 + 1 = 63$ 桁です。

3. 最終的な答え

63桁