(1) $x$ についての不等式 $a^2(-x+6a) + x(x-5) \geq 6a(x-5)$ を解く。 (2) $x$ の2次不等式 $6x^2-(16a+7)x+(2a+1)(5a+2) < 0$ を満たす整数 $x$ が10個となるように、正の整数 $a$ の値を定める。

1. 問題の内容

(1) $x$ についての不等式 $a^2(-x+6a) + x(x-5) \geq 6a(x-5)$ を解く。

(2) $x$ の2次不等式 $6x^2-(16a+7)x+(2a+1)(5a+2) < 0$ を満たす整数 $x$ が10個となるように、正の整数 $a$ の値を定める。

2. 解き方の手順

(1) 不等式を変形する。

$a^2(-x+6a) + x(x-5) \geq 6a(x-5)$

$-a^2x + 6a^3 + x^2 - 5x \geq 6ax - 30a$

$x^2 - (5+a^2+6a)x + 6a^3 + 30a \geq 0$

$x^2 - (6a+5+a^2)x + 6a(a^2 + 5) \geq 0$

$x^2 - (a^2 + 6a + 5)x + 6a(a^2+5) \geq 0$

$x^2 - (a+1)(a+5)x + 6a(a^2+5) \geq 0$

$(x-a^2-5)(x-6a) = x^2 - (6a+a^2+5)x + 6a(a^2+5)$

$(x-6a)(x-(a^2+5)) \geq 0$

$x \leq 6a$ または $x \geq a^2+5$

(2)

$6x^2-(16a+7)x+(2a+1)(5a+2) < 0$

$6x^2-(16a+7)x+10a^2+9a+2 < 0$

$(2x-(5a+2))(3x-(2a+1)) < 0$

もし $5a+2 > 2a+1$ つまり $3a > -1$ つまり $a > -1/3$ ならば $\frac{2a+1}{3} < x < \frac{5a+2}{2}$

もし $5a+2 < 2a+1$ つまり $3a < -1$ つまり $a < -1/3$ ならば $\frac{5a+2}{2} < x < \frac{2a+1}{3}$

$a$ は正の整数なので $a > 0$ であるから、 $\frac{2a+1}{3} < x < \frac{5a+2}{2}$ である。

この範囲に整数 $x$ が10個含まれる。

$\frac{5a+2}{2} - \frac{2a+1}{3} \approx 10$

$\frac{15a+6 - 4a-2}{6} \approx 10$

$\frac{11a+4}{6} \approx 10$

$11a+4 \approx 60$

$11a \approx 56$

$a \approx \frac{56}{11} \approx 5$

$a=5$ のとき

$\frac{2a+1}{3} = \frac{11}{3} = 3.66...$

$\frac{5a+2}{2} = \frac{27}{2} = 13.5$

$x = 4,5,6,7,8,9,10,11,12,13$ の10個

3. 最終的な答え

a = 5