$a$ は正の定数とする。関数 $y = -x^2 + 2x + 1$ の $0 \leq x \leq a$ における最大値を求めよ。

1. 問題の内容

$a$ は正の定数とする。関数 $y = -x^2 + 2x + 1$ の $0 \leq x \leq a$ における最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、与えられた関数を平方完成します。

$y = -x^2 + 2x + 1$

$y = -(x^2 - 2x) + 1$

$y = -(x^2 - 2x + 1 - 1) + 1$

$y = -(x - 1)^2 + 1 + 1$

$y = -(x - 1)^2 + 2$

この関数は、上に凸な放物線であり、頂点の座標は $(1, 2)$ です。

$0 \leq x \leq a$ における最大値を求めるためには、$a$ の値によって場合分けが必要です。

(i) $0 < a < 1$ のとき

定義域 $0 \leq x \leq a$ において、$x$ が増加するにつれて $y$ も増加するので、$x = a$ のとき最大値をとります。

最大値は、 $y = -a^2 + 2a + 1$ です。

(ii) $a = 1$ のとき

定義域 $0 \leq x \leq 1$ において、$x = 1$ で最大値をとります。

最大値は、 $y = -(1 - 1)^2 + 2 = 2$ です。

これは、上記の $y = -a^2 + 2a + 1$ に $a=1$ を代入した値と一致します。

(iii) $a > 1$ のとき

定義域 $0 \leq x \leq a$ において、頂点 $x = 1$ で最大値をとります。

最大値は、 $y = 2$ です。

まとめると、

$0 < a < 1$ のとき、最大値は $-a^2 + 2a + 1$

$a \geq 1$ のとき、最大値は $2$

3. 最終的な答え

$0 < a < 1$ のとき、最大値は $-a^2 + 2a + 1$

$a \geq 1$ のとき、最大値は $2$