多項式 $f(x) = x^4 - x^3 + px^2 - qx + 4$ が $x-1$ と $x-2$ で割り切れるとき、 (1) $p$ と $q$ の値を求める。 (2) $f(x) = 0$ の $1, 2$ 以外の解を求める。

1. 問題の内容

多項式 $f(x) = x^4 - x^3 + px^2 - qx + 4$ が $x-1$ と $x-2$ で割り切れるとき、

(1) $p$ と $q$ の値を求める。

(2) $f(x) = 0$ の $1, 2$ 以外の解を求める。

2. 解き方の手順

(1) $f(x)$ が $x-1$ と $x-2$ で割り切れるということは、$f(1) = 0$ と $f(2) = 0$ が成り立つことを意味します。

まず、$f(1) = 0$ を計算します。

$f(1) = 1^4 - 1^3 + p(1)^2 - q(1) + 4 = 1 - 1 + p - q + 4 = p - q + 4 = 0$

したがって、

$p - q = -4$

次に、$f(2) = 0$ を計算します。

$f(2) = 2^4 - 2^3 + p(2)^2 - q(2) + 4 = 16 - 8 + 4p - 2q + 4 = 4p - 2q + 12 = 0$

したがって、

$4p - 2q = -12$

両辺を2で割ると、

$2p - q = -6$

これで、$p$ と $q$ に関する連立方程式が得られました。

$p - q = -4$

$2p - q = -6$

下の式から上の式を引くと、

$(2p - q) - (p - q) = -6 - (-4)$

$p = -2$

これを $p - q = -4$ に代入すると、

$-2 - q = -4$

$q = 2$

(2) $p = -2$ と $q = 2$ を $f(x)$ に代入すると、

$f(x) = x^4 - x^3 - 2x^2 - 2x + 4$

$f(x)$ は $x-1$ と $x-2$ で割り切れるので、$f(x) = (x-1)(x-2)(ax^2+bx+c)$ と書けます。

$(x-1)(x-2) = x^2 - 3x + 2$

したがって、$f(x) = (x^2 - 3x + 2)(x^2 + 2x + 2) = x^4-x^3-2x^2-2x+4$となります。

$f(x) = 0$ となるのは、$(x-1)(x-2)(x^2 + 2x + 2) = 0$ のときです。

$x-1 = 0$ より $x=1$, $x-2=0$ より $x=2$ です。

$x^2 + 2x + 2 = 0$ の解を求めます。

解の公式より、

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{-4}}{2} = \frac{-2 \pm 2i}{2} = -1 \pm i$

したがって、$f(x) = 0$ の解は $x = 1, 2, -1 + i, -1 - i$ です。

$1, 2$ 以外の解は $-1 + i$ と $-1 - i$ です。

3. 最終的な答え

(1) $p = -2$, $q = 2$

(2) $x = -1 + i, -1 - i$