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次の微分方程式を解きます。 $(x + y) + (x - y)y' = 0$

解析学微分方程式同次形
2025/4/25
## 問題1

1. 問題の内容

次の微分方程式を解きます。
(x+y)+(x−y)y′=0(x + y) + (x - y)y' = 0

2. 解き方の手順

与えられた微分方程式は以下のとおりです。
(x+y)+(x−y)y′=0(x + y) + (x - y)y' = 0
y′=dydxy' = \frac{dy}{dx} なので、
(x+y)+(x−y)dydx=0(x + y) + (x - y)\frac{dy}{dx} = 0
(x−y)dydx=−(x+y)(x - y)\frac{dy}{dx} = -(x + y)
dydx=−x+yx−y\frac{dy}{dx} = -\frac{x + y}{x - y}
この微分方程式は同次形なので、y=vxy = vx とおきます。すると、dydx=v+xdvdx\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx} となります。
v+xdvdx=−x+vxx−vx=−1+v1−vv + x\frac{dv}{dx} = -\frac{x + vx}{x - vx} = -\frac{1 + v}{1 - v}
xdvdx=−1+v1−v−v=−1−v−v+v21−v=v2−2v−11−vx\frac{dv}{dx} = -\frac{1 + v}{1 - v} - v = \frac{-1 - v - v + v^2}{1 - v} = \frac{v^2 - 2v - 1}{1 - v}
1−vv2−2v−1dv=1xdx\frac{1 - v}{v^2 - 2v - 1}dv = \frac{1}{x}dx
両辺を積分します。
∫1−vv2−2v−1dv=∫1xdx\int \frac{1 - v}{v^2 - 2v - 1} dv = \int \frac{1}{x} dx
左辺の積分について、u=v2−2v−1u = v^2 - 2v - 1 とおくと、du=(2v−2)dv=2(v−1)dvdu = (2v - 2)dv = 2(v - 1)dv。つまり、(1−v)dv=−12du(1 - v)dv = -\frac{1}{2}du。
∫1−vv2−2v−1dv=∫−12udu=−12∫1udu=−12ln⁡∣u∣+C1=−12ln⁡∣v2−2v−1∣+C1\int \frac{1 - v}{v^2 - 2v - 1} dv = \int \frac{-\frac{1}{2}}{u} du = -\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} du = -\frac{1}{2} \ln |u| + C_1 = -\frac{1}{2} \ln |v^2 - 2v - 1| + C_1
右辺の積分は、∫1xdx=ln⁡∣x∣+C2\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C_2
したがって、
−12ln⁡∣v2−2v−1∣=ln⁡∣x∣+C-\frac{1}{2} \ln |v^2 - 2v - 1| = \ln |x| + C（ここで、C=C2−C1C = C_2 - C_1）
ln⁡∣v2−2v−1∣=−2ln⁡∣x∣+C′\ln |v^2 - 2v - 1| = -2\ln |x| + C'（ここで、C′=−2CC' = -2C）
ln⁡∣v2−2v−1∣=ln⁡∣x−2∣+C′\ln |v^2 - 2v - 1| = \ln |x^{-2}| + C'
∣v2−2v−1∣=eC′∣x−2∣|v^2 - 2v - 1| = e^{C'} |x^{-2}|
v2−2v−1=Ax2v^2 - 2v - 1 = \frac{A}{x^2} （ここで、A=±eC′A = \pm e^{C'}）
v=yxv = \frac{y}{x} なので、
(yx)2−2(yx)−1=Ax2(\frac{y}{x})^2 - 2(\frac{y}{x}) - 1 = \frac{A}{x^2}
y2x2−2yx−1=Ax2\frac{y^2}{x^2} - \frac{2y}{x} - 1 = \frac{A}{x^2}
y2−2xy−x2=Ay^2 - 2xy - x^2 = A
y2−2xy−x2=Ay^2 - 2xy - x^2 = A は解となります。

3. 最終的な答え

y2−2xy−x2=Ay^2 - 2xy - x^2 = A （Aは任意定数）
## 問題2

1. 問題の内容

次の微分方程式を解きます。
y2+(x2−xy)y′=0y^2 + (x^2 - xy)y' = 0

2. 解き方の手順

与えられた微分方程式は以下のとおりです。
y2+(x2−xy)y′=0y^2 + (x^2 - xy)y' = 0
(x2−xy)dydx=−y2(x^2 - xy)\frac{dy}{dx} = -y^2
dydx=−y2x2−xy=−y2x(x−y)\frac{dy}{dx} = -\frac{y^2}{x^2 - xy} = -\frac{y^2}{x(x - y)}
この微分方程式は同次形なので、y=vxy = vx とおきます。すると、dydx=v+xdvdx\frac{dy}{dx} = v + x\frac{dv}{dx} となります。
v+xdvdx=−(vx)2x(x−vx)=−v2x2x2(1−v)=−v21−vv + x\frac{dv}{dx} = -\frac{(vx)^2}{x(x - vx)} = -\frac{v^2 x^2}{x^2 (1 - v)} = -\frac{v^2}{1 - v}
xdvdx=−v21−v−v=−v2−v+v21−v=−v1−vx\frac{dv}{dx} = -\frac{v^2}{1 - v} - v = \frac{-v^2 - v + v^2}{1 - v} = \frac{-v}{1 - v}
1−v−vdv=1xdx\frac{1 - v}{-v}dv = \frac{1}{x}dx
(−1v+1)dv=1xdx(-\frac{1}{v} + 1)dv = \frac{1}{x}dx
両辺を積分します。
∫(−1v+1)dv=∫1xdx\int (-\frac{1}{v} + 1) dv = \int \frac{1}{x} dx
−ln⁡∣v∣+v=ln⁡∣x∣+C-\ln |v| + v = \ln |x| + C
v=yxv = \frac{y}{x} なので、
−ln⁡∣yx∣+yx=ln⁡∣x∣+C-\ln |\frac{y}{x}| + \frac{y}{x} = \ln |x| + C
−ln⁡∣y∣+ln⁡∣x∣+yx=ln⁡∣x∣+C-\ln |y| + \ln |x| + \frac{y}{x} = \ln |x| + C
−ln⁡∣y∣+yx=C-\ln |y| + \frac{y}{x} = C
yx−ln⁡∣y∣=C\frac{y}{x} - \ln |y| = C

3. 最終的な答え

yx−ln⁡∣y∣=C\frac{y}{x} - \ln |y| = C (Cは任意定数)

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