0, 1, 2, 3, 4 の 5 個の数字から異なる 4 個を選んで並べて 4 桁の整数を作るとき、以下の問いに答える。 (1) 4 桁の整数は何個作れるか。 (2) 4 桁の奇数は何個作れるか。 (3) 4 桁の偶数は何個作れるか。

1. 問題の内容

0, 1, 2, 3, 4 の 5 個の数字から異なる 4 個を選んで並べて 4 桁の整数を作るとき、以下の問いに答える。

(1) 4 桁の整数は何個作れるか。

(2) 4 桁の奇数は何個作れるか。

(3) 4 桁の偶数は何個作れるか。

2. 解き方の手順

(1) 4 桁の整数

4 桁の整数を作るには、千の位に 0 を置くことはできない。

千の位の選び方は 0 以外の 4 通り。

百の位の選び方は、千の位で使った数字以外の 4 通り。

十の位の選び方は、千の位と百の位で使った数字以外の 3 通り。

一の位の選び方は、千の位と百の位と十の位で使った数字以外の 2 通り。

したがって、4 桁の整数の個数は $4 \times 4 \times 3 \times 2 = 96$ 個。

(2) 4 桁の奇数

4 桁の奇数を作るには、一の位が 1 または 3 でなければならない。

一の位が 1 または 3 の場合を考える。一の位の選び方は 2 通り。

千の位は 0 と一の位で使った数字以外なので、選び方は 3 通り。

百の位は千の位と一の位で使った数字以外なので、選び方は 3 通り。

十の位は千の位と百の位と一の位で使った数字以外なので、選び方は 2 通り。

したがって、4 桁の奇数の個数は $3 \times 3 \times 2 \times 2 = 36$ 個。

(3) 4 桁の偶数

4 桁の整数は 96 個あり、そのうち 4 桁の奇数は 36 個ある。

したがって、4 桁の偶数の個数は $96 - 36 = 60$ 個。

あるいは、一の位が 0, 2, 4 の場合で分けて考えることもできる。

(i) 一の位が 0 のとき、

千の位の選び方は 4 通り。

百の位の選び方は 3 通り。

十の位の選び方は 2 通り。

したがって、この場合の数は $4 \times 3 \times 2 = 24$ 通り。

(ii) 一の位が 2 または 4 のとき、

一の位の選び方は 2 通り。

千の位は 0 と一の位で使った数字以外なので、選び方は 3 通り。

百の位は千の位と一の位で使った数字以外なので、選び方は 3 通り。

十の位は千の位と百の位と一の位で使った数字以外なので、選び方は 2 通り。

したがって、この場合の数は $2 \times 3 \times 3 \times 2 = 36$ 通り。

したがって、4 桁の偶数の個数は $24 + 36 = 60$ 個。

3. 最終的な答え

(1) 96個

(2) 36個

(3) 60個