問題は2つあります。 (1) $a$ と $b$ は整数で、$a$ を8で割ると5余り、$b$ を8で割ると7余るとき、$a+b$ を8で割った余りと、$ab$ を8で割った余りを求めます。 (2) 248と93の最大公約数を、互除法を用いて求めます。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) $a$ と $b$ は整数で、$a$ を8で割ると5余り、$b$ を8で割ると7余るとき、$a+b$ を8で割った余りと、$ab$ を8で割った余りを求めます。

(2) 248と93の最大公約数を、互除法を用いて求めます。

2. 解き方の手順

(1) $a$ と $b$ は整数で、$a$ を8で割ると5余り、$b$ を8で割ると7余るので、$a=8m+5$, $b=8n+7$ (m, nは整数)と表せます。

$a+b = (8m+5)+(8n+7) = 8m+8n+12 = 8m+8n+8+4 = 8(m+n+1)+4$ となります。したがって、$a+b$ を8で割った余りは4です。

$ab = (8m+5)(8n+7) = 64mn+56m+40n+35 = 64mn+56m+40n+32+3 = 8(8mn+7m+5n+4)+3$ となります。したがって、$ab$ を8で割った余りは3です。

(2) 248と93の最大公約数を互除法で求めます。

$248 = 93 \times 2 + 62$

$93 = 62 \times 1 + 31$

$62 = 31 \times 2 + 0$

したがって、248と93の最大公約数は31です。

3. 最終的な答え

(1) $a+b$ を8で割った余りは4

$ab$ を8で割った余りは3

(2) 248と93の最大公約数は31