問題6：対数不等式 $\log_{\frac{1}{3}}(1-2x) \ge -1$ を解く。 問題7(1)：$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、不等式 $\sin(\theta + \frac{\pi}{6}) < \frac{1}{\sqrt{2}}$ を解く。 問題7(2)：$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、不等式 $\cos(2\theta + \frac{\pi}{4}) \le -\frac{\sqrt{3}}{2}$ を解く。

1. 問題の内容

問題6：対数不等式 $\log_{\frac{1}{3}}(1-2x) \ge -1$ を解く。

問題7(1)：$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、不等式 $\sin(\theta + \frac{\pi}{6}) < \frac{1}{\sqrt{2}}$ を解く。

問題7(2)：$0 \le \theta < 2\pi$ のとき、不等式 $\cos(2\theta + \frac{\pi}{4}) \le -\frac{\sqrt{3}}{2}$ を解く。

2. 解き方の手順

問題6：

対数不等式 $\log_{\frac{1}{3}}(1-2x) \ge -1$ を解く。

まず、真数条件より $1-2x > 0$、つまり $x < \frac{1}{2}$ である。

次に、$\log_{\frac{1}{3}}(1-2x) \ge -1 = \log_{\frac{1}{3}} (\frac{1}{3})^{-1} = \log_{\frac{1}{3}} 3$。

底が$\frac{1}{3}$なので、$1-2x \le 3$。

$-2x \le 2$ より、$x \ge -1$。

よって、$-1 \le x < \frac{1}{2}$。

問題7(1)：

$\sin(\theta + \frac{\pi}{6}) < \frac{1}{\sqrt{2}}$ を解く。

$0 \le \theta < 2\pi$ より、$\frac{\pi}{6} \le \theta + \frac{\pi}{6} < 2\pi + \frac{\pi}{6}$。

$\sin x = \frac{1}{\sqrt{2}}$ となる $x$ は $x = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$。

$\sin(\theta + \frac{\pi}{6}) < \frac{1}{\sqrt{2}}$ となるのは、$\frac{\pi}{6} \le \theta + \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{4}$ または $\frac{3\pi}{4} < \theta + \frac{\pi}{6} < 2\pi + \frac{\pi}{6}$ のとき。

$\frac{\pi}{6} \le \theta + \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{4}$ より、 $0 \le \theta < \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{12}$。

$\frac{3\pi}{4} < \theta + \frac{\pi}{6} < 2\pi + \frac{\pi}{6}$ より、$\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{6} < \theta < 2\pi$。

$\frac{3\pi}{4} - \frac{\pi}{6} = \frac{9\pi - 2\pi}{12} = \frac{7\pi}{12}$。

よって、$\frac{7\pi}{12} < \theta < 2\pi$。

したがって、$0 \le \theta < \frac{\pi}{12}$ または $\frac{7\pi}{12} < \theta < 2\pi$。

問題7(2)：

$\cos(2\theta + \frac{\pi}{4}) \le -\frac{\sqrt{3}}{2}$ を解く。

$0 \le \theta < 2\pi$ より、$0 \le 2\theta < 4\pi$。

$\frac{\pi}{4} \le 2\theta + \frac{\pi}{4} < 4\pi + \frac{\pi}{4}$。

$\cos x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となる $x$ は $x = \frac{5\pi}{6}, \frac{7\pi}{6}$。

$\cos(2\theta + \frac{\pi}{4}) \le -\frac{\sqrt{3}}{2}$ となるのは、$\frac{5\pi}{6} \le 2\theta + \frac{\pi}{4} \le \frac{7\pi}{6}$ または $\frac{5\pi}{6} + 2\pi \le 2\theta + \frac{\pi}{4} \le \frac{7\pi}{6} + 2\pi$ のとき。

$\frac{5\pi}{6} \le 2\theta + \frac{\pi}{4} \le \frac{7\pi}{6}$ より、$\frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{4} \le 2\theta \le \frac{7\pi}{6} - \frac{\pi}{4}$。

$\frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{4} = \frac{10\pi - 3\pi}{12} = \frac{7\pi}{12}$。

$\frac{7\pi}{6} - \frac{\pi}{4} = \frac{14\pi - 3\pi}{12} = \frac{11\pi}{12}$。

よって、$\frac{7\pi}{12} \le 2\theta \le \frac{11\pi}{12}$。

$\frac{7\pi}{24} \le \theta \le \frac{11\pi}{24}$。

$\frac{5\pi}{6} + 2\pi \le 2\theta + \frac{\pi}{4} \le \frac{7\pi}{6} + 2\pi$ より、$\frac{17\pi}{6} \le 2\theta + \frac{\pi}{4} \le \frac{19\pi}{6}$。

$\frac{17\pi}{6} - \frac{\pi}{4} \le 2\theta \le \frac{19\pi}{6} - \frac{\pi}{4}$。

$\frac{17\pi}{6} - \frac{\pi}{4} = \frac{34\pi - 3\pi}{12} = \frac{31\pi}{12}$。

$\frac{19\pi}{6} - \frac{\pi}{4} = \frac{38\pi - 3\pi}{12} = \frac{35\pi}{12}$。

よって、$\frac{31\pi}{12} \le 2\theta \le \frac{35\pi}{12}$。

$\frac{31\pi}{24} \le \theta \le \frac{35\pi}{24}$。

したがって、$\frac{7\pi}{24} \le \theta \le \frac{11\pi}{24}$ または $\frac{31\pi}{24} \le \theta \le \frac{35\pi}{24}$。

3. 最終的な答え

問題6：$-1 \le x < \frac{1}{2}$

問題7(1)：$0 \le \theta < \frac{\pi}{12}$ または $\frac{7\pi}{12} < \theta < 2\pi$

問題7(2)：$\frac{7\pi}{24} \le \theta \le \frac{11\pi}{24}$ または $\frac{31\pi}{24} \le \theta \le \frac{35\pi}{24}$