$x = \frac{1}{\sqrt{2}+1}$、$y = \frac{1}{\sqrt{2}-1}$ のとき、以下の式の値を求める問題です。 (1) $x+y$ および $xy$ (2) $x^2+y^2$ (3) $x^2y+xy^2$

1. 問題の内容

$x = \frac{1}{\sqrt{2}+1}$、$y = \frac{1}{\sqrt{2}-1}$ のとき、以下の式の値を求める問題です。

(1) $x+y$ および $xy$

(2) $x^2+y^2$

(3) $x^2y+xy^2$

2. 解き方の手順

まず、$x$と$y$をそれぞれ有理化します。

$x = \frac{1}{\sqrt{2}+1} = \frac{1}{\sqrt{2}+1} \times \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{2}-1}{2-1} = \sqrt{2}-1$

$y = \frac{1}{\sqrt{2}-1} = \frac{1}{\sqrt{2}-1} \times \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1} = \frac{\sqrt{2}+1}{(\sqrt{2})^2 - 1^2} = \frac{\sqrt{2}+1}{2-1} = \sqrt{2}+1$

(1)

$x+y = (\sqrt{2}-1) + (\sqrt{2}+1) = 2\sqrt{2}$

$xy = (\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1) = (\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2-1 = 1$

(2)

$x^2+y^2$ を求めるために、$(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2$ という公式を利用します。

$x^2+y^2 = (x+y)^2 - 2xy$

$x+y = 2\sqrt{2}$、 $xy = 1$ なので、

$x^2+y^2 = (2\sqrt{2})^2 - 2(1) = 4(2) - 2 = 8-2 = 6$

(3)

$x^2y + xy^2 = xy(x+y)$ と変形できます。

$x+y = 2\sqrt{2}$、$xy = 1$ なので、

$x^2y + xy^2 = xy(x+y) = 1 \times 2\sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

3. 最終的な答え

(1) $x+y = 2\sqrt{2}$、 $xy = 1$

(2) $x^2+y^2 = 6$

(3) $x^2y+xy^2 = 2\sqrt{2}$