円に内接する $n$ 角形 $F$ ($n > 4$) について、以下の個数を求める問題です。 ア：対角線の総数 イ：3つの頂点からできる三角形の総数 ウ：4つの頂点からできる四角形の総数 エ：対角線の交点のうち、$F$ の内部で交わるものの総数（ただし、どの3本の対角線も $F$ の頂点以外の同一点で交わらないとする）

1. 問題の内容

円に内接する $n$ 角形 $F$ ($n > 4$) について、以下の個数を求める問題です。

ア：対角線の総数

イ：3つの頂点からできる三角形の総数

ウ：4つの頂点からできる四角形の総数

エ：対角線の交点のうち、$F$ の内部で交わるものの総数（ただし、どの3本の対角線も $F$ の頂点以外の同一点で交わらないとする）

2. 解き方の手順

ア：$n$ 角形の頂点から2点を選ぶ組み合わせは ${}_n C_2$ ですが、この中には辺も含まれます。対角線は辺ではないので、$n$ 本の辺を引く必要があります。したがって、対角線の総数は

${}_n C_2 - n = \frac{n(n-1)}{2} - n = \frac{n(n-3)}{2}$

イ：$n$ 個の頂点から3つを選ぶ組み合わせなので、三角形の総数は

${}_n C_3 = \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}=\frac{n(n-1)(n-2)}{6}$

ウ：$n$ 個の頂点から4つを選ぶ組み合わせなので、四角形の総数は

${}_n C_4 = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4!} = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}$

エ：内部で交わる対角線は、四角形を形成する4つの頂点によって一意に決定されます。よって、$n$ 個の頂点から4つを選ぶ組み合わせが、内部で交わる対角線の交点の数になります。したがって、交点の総数は

${}_n C_4 = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4!} = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}$

3. 最終的な答え

ア：$\frac{n(n-3)}{2}$ 本

イ：$\frac{n(n-1)(n-2)}{6}$ 個

ウ：$\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}$ 個

エ：$\frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{24}$ 個