次の方程式を解く問題です。 (1) $(\log_3 x)^2 - 2\log_3 x - 3 = 0$ (2) $1 + \log_4(x-1) = \log_2(x-4)$

1. 問題の内容

次の方程式を解く問題です。

(1) $(\log_3 x)^2 - 2\log_3 x - 3 = 0$

(2) $1 + \log_4(x-1) = \log_2(x-4)$

2. 解き方の手順

(1)

$\log_3 x = t$ とおくと、

$t^2 - 2t - 3 = 0$

$(t-3)(t+1) = 0$

$t = 3, -1$

$\log_3 x = 3$ のとき、 $x = 3^3 = 27$

$\log_3 x = -1$ のとき、 $x = 3^{-1} = \frac{1}{3}$

よって、$x = 27, \frac{1}{3}$

(2)

$1 + \log_4(x-1) = \log_2(x-4)$

$1 + \frac{\log_2(x-1)}{\log_2 4} = \log_2(x-4)$

$1 + \frac{\log_2(x-1)}{2} = \log_2(x-4)$

$2 + \log_2(x-1) = 2\log_2(x-4)$

$\log_2 4 + \log_2(x-1) = \log_2(x-4)^2$

$\log_2 4(x-1) = \log_2(x-4)^2$

$4(x-1) = (x-4)^2$

$4x - 4 = x^2 - 8x + 16$

$x^2 - 12x + 20 = 0$

$(x-10)(x-2) = 0$

$x = 10, 2$

真数条件より、$x-1 > 0$ かつ $x-4 > 0$ なので、$x > 4$

したがって、$x=10$ が解。

3. 最終的な答え

(1)のア：27

(1)のイ：1/3

(2) 10