次の不等式の解を求めよという問題です。 $2 \log_{\frac{1}{2}}(x-2) > \log_{\frac{1}{2}}(x+4)$

1. 問題の内容

次の不等式の解を求めよという問題です。

$2 \log_{\frac{1}{2}}(x-2) > \log_{\frac{1}{2}}(x+4)$

2. 解き方の手順

まず、対数の真数条件から $x-2 > 0$ かつ $x+4 > 0$ である必要があります。

したがって、$x > 2$ が必要条件です。

次に、与えられた不等式を変形します。

$2 \log_{\frac{1}{2}}(x-2) > \log_{\frac{1}{2}}(x+4)$

$\log_{\frac{1}{2}}(x-2)^2 > \log_{\frac{1}{2}}(x+4)$

底が $\frac{1}{2}$ であり、1より小さいので、対数を外すと不等号の向きが反転します。

$(x-2)^2 < x+4$

$x^2 - 4x + 4 < x + 4$

$x^2 - 5x < 0$

$x(x-5) < 0$

$0 < x < 5$

真数条件 $x > 2$ と上記の不等式 $0 < x < 5$ を満たす範囲は $2 < x < 5$ です。

3. 最終的な答え

$2 < x < 5$