与えられた式 $ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc$ を因数分解する問題です。

1. 問題の内容

与えられた式 $ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc$ を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、式を展開します。

$ab(a+b) + bc(b+c) + ca(c+a) + 3abc = a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc$

次に、同類項をまとめ、整理します。今回は同類項がないため、このまま進みます。

$a$ について整理します。

$a^2b + ca^2 + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + 3abc = (b+c)a^2 + (b^2+c^2+3bc)a + b^2c + bc^2$

さらに、$b^2c+bc^2$を$bc(b+c)$と因数分解します。

$(b+c)a^2 + (b^2+c^2+3bc)a + bc(b+c)$

$(b+c)a^2 + (b^2 + 2bc + c^2 + bc)a + bc(b+c)$

$(b+c)a^2 + ((b+c)^2 + bc)a + bc(b+c)$

ここで、$a$ についての二次式として考えます。

$(b+c)a^2 + (b+c)^2a + bca + bc(b+c)$

$(b+c)a^2 + (b+c)^2a + abc + bc^2$

$(b+c)a^2 + ((b+c)^2 + bc)a + bc(b+c)$

全体を$(b+c)$でくくり出すことを考えます。

$((b+c)a + bc)(a+(b+c))$

$=(a+b)(b+c)(c+a)$

$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc=(a+b)(b+c)(c+a)$ となることを確認します。

$(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b)(bc+c^2+b^2+bc) = (a+b)(b^2+c^2+2bc)=(a+b)(b+c)^2$

$(a+b)(bc+c^2+b^2+ab) = abc + ac^2 + ab^2 + a^2b + b^2c + bc^2 + b^3 + ab^2$

別の方法を試します。

$a^2b + ab^2 + b^2c + bc^2 + c^2a + ca^2 + 3abc = (a+b+c)(ab+bc+ca) - abc + 3abc = (a+b+c)(ab+bc+ca) + 2abc$

$(a+b)(b+c)(c+a) = (a+b)(bc + c^2 + b^2 + ab) = abc + ac^2 + ab^2 + a^2b + b^2c + bc^2 + b^3 + ab^2$

$(a+b+c)(ab+bc+ca) = a^2b+abc+a^2c + ab^2 + b^2c + abc + abc + bc^2 + ac^2= a^2b+a^2c + ab^2 + b^2c+bc^2 + ac^2+ 3abc$

3. 最終的な答え

$(a+b)(b+c)(c+a)$