与えられた6つの数式を計算し、あるいは分母を有理化する問題です。

1. 問題の内容

与えられた6つの数式を計算し、あるいは分母を有理化する問題です。

2. 解き方の手順

(1) $2\sqrt{27} - 3\sqrt{12} + \sqrt{54}$

まず、各項を簡単にします。

$2\sqrt{27} = 2\sqrt{3^3} = 2 \cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$

$3\sqrt{12} = 3\sqrt{2^2 \cdot 3} = 3 \cdot 2\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$

$\sqrt{54} = \sqrt{2 \cdot 3^3} = 3\sqrt{6}$

よって、

$6\sqrt{3} - 6\sqrt{3} + 3\sqrt{6} = 3\sqrt{6}$

(2) $(\sqrt{3} + \sqrt{6})^2$

展開します。

$(\sqrt{3} + \sqrt{6})^2 = (\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{6} + (\sqrt{6})^2 = 3 + 2\sqrt{18} + 6 = 9 + 2\sqrt{2 \cdot 3^2} = 9 + 2 \cdot 3\sqrt{2} = 9 + 6\sqrt{2}$

(3) $\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{8}}$

分母を有理化します。

$\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{8}} = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3}-1)\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

(4) $\frac{2\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}}$

分母を有理化します。

$\frac{2\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} = \frac{(2\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})}{(\sqrt{3} + \sqrt{2})(\sqrt{3} - \sqrt{2})} = \frac{2(\sqrt{3})^2 - 2\sqrt{6} + \sqrt{6} - (\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \frac{6 - \sqrt{6} - 2}{3 - 2} = \frac{4 - \sqrt{6}}{1} = 4 - \sqrt{6}$

(5) $\frac{3}{2-\sqrt{7}}$

分母を有理化します。

$\frac{3}{2-\sqrt{7}} = \frac{3(2+\sqrt{7})}{(2-\sqrt{7})(2+\sqrt{7})} = \frac{6 + 3\sqrt{7}}{4 - 7} = \frac{6 + 3\sqrt{7}}{-3} = -2 - \sqrt{7}$

(6) $\frac{3 + \sqrt{3}}{\sqrt{6}(1 + \sqrt{3})}$

分母を有理化します。

$\frac{3 + \sqrt{3}}{\sqrt{6}(1 + \sqrt{3})} = \frac{(3 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})}{\sqrt{6}(1 + \sqrt{3})(1 - \sqrt{3})} = \frac{3 - 3\sqrt{3} + \sqrt{3} - 3}{\sqrt{6}(1 - 3)} = \frac{-2\sqrt{3}}{-2\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

3. 最終的な答え

(1) $3\sqrt{6}$

(2) $9 + 6\sqrt{2}$

(3) $\frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$

(4) $4 - \sqrt{6}$

(5) $-2 - \sqrt{7}$

(6) $\frac{\sqrt{2}}{2}$