(1) $1, 8, 27, 64, 125, ...$ (2) $1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, 2, \sqrt{5}, ...$ (3) $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \frac{1}{32}, ...$

はい、承知いたしました。画像に写っている数学の問題を解きます。

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1. 問題の内容**

1. 数列の一般項を推定する問題が3つあります。

(1) $1, 8, 27, 64, 125, ...$

(2) $1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, 2, \sqrt{5}, ...$

(3) $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \frac{1}{32}, ...$

2. 以下の4つの問題を解きます。

(1) 数列の一般項 $a_n = -n^2 + n + 1$ の第3項を求める。

(2) $\sum_{k=1}^{5} (2k+2)$ を計算する。

(3) $\sum_{j=2}^{4} (j^3)$ を計算する。

(4) $\sum_{k=3}^{10} 2$ を計算する。

3. 以下の4つの数列について、一般項と初項から第5項までの和を求めます。

(1) 初項-4, 公差2の等差数列

(2) 初項10, 公差-3の等差数列

(3) 初項-4, 公比2の等比数列

(4) 初項10, 公比-3の等比数列

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2. 解き方の手順**

1. 数列の一般項を推定する問題

(1) $1, 8, 27, 64, 125, ...$ は、$1^3, 2^3, 3^3, 4^3, 5^3, ...$ となっているため、一般項は $n^3$ と推定できます。

(2) $1, \sqrt{2}, \sqrt{3}, 2, \sqrt{5}, ...$ は、$\sqrt{1}, \sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{4}, \sqrt{5}, ...$ となっているため、一般項は $\sqrt{n}$ と推定できます。

(3) $\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \frac{1}{32}, ...$ は、$\frac{1}{2^1}, \frac{1}{2^2}, \frac{1}{2^3}, \frac{1}{2^4}, \frac{1}{2^5}, ...$ となっているため、一般項は $\frac{1}{2^n}$ と推定できます。

2. 以下の問題を解く。

(1) $a_n = -n^2 + n + 1$ の第3項は、$a_3 = -(3)^2 + 3 + 1 = -9 + 3 + 1 = -5$ です。

(2) $\sum_{k=1}^{5} (2k+2)$ は、$k=1$ から $k=5$ までの $(2k+2)$ の和です。

$\sum_{k=1}^{5} (2k+2) = (2(1)+2) + (2(2)+2) + (2(3)+2) + (2(4)+2) + (2(5)+2) = 4 + 6 + 8 + 10 + 12 = 40$ です。

(3) $\sum_{j=2}^{4} (j^3)$ は、$j=2$ から $j=4$ までの $j^3$ の和です。

$\sum_{j=2}^{4} (j^3) = 2^3 + 3^3 + 4^3 = 8 + 27 + 64 = 99$ です。

(4) $\sum_{k=3}^{10} 2$ は、$k=3$ から $k=10$ までの 2 の和です。これは $2$ を $(10-3+1) = 8$ 回足し合わせることなので、$\sum_{k=3}^{10} 2 = 2 \times 8 = 16$ です。

3. 以下の数列について、一般項と初項から第5項までの和を求める。

(1) 初項-4, 公差2の等差数列

* 一般項: $a_n = a_1 + (n-1)d = -4 + (n-1)2 = -4 + 2n - 2 = 2n - 6$

* 初項から第5項までの和: $S_5 = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) = \frac{5}{2}(2(-4) + (5-1)2) = \frac{5}{2}(-8 + 8) = 0$

(2) 初項10, 公差-3の等差数列

* 一般項: $a_n = a_1 + (n-1)d = 10 + (n-1)(-3) = 10 - 3n + 3 = -3n + 13$

* 初項から第5項までの和: $S_5 = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d) = \frac{5}{2}(2(10) + (5-1)(-3)) = \frac{5}{2}(20 - 12) = \frac{5}{2}(8) = 20$

(3) 初項-4, 公比2の等比数列

* 一般項: $a_n = a_1 r^{n-1} = -4 \times 2^{n-1}$

* 初項から第5項までの和: $S_5 = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r} = \frac{-4(1-2^5)}{1-2} = \frac{-4(1-32)}{-1} = -4(31) = -124$

(4) 初項10, 公比-3の等比数列

* 一般項: $a_n = a_1 r^{n-1} = 10 \times (-3)^{n-1}$

* 初項から第5項までの和: $S_5 = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r} = \frac{10(1-(-3)^5)}{1-(-3)} = \frac{10(1-(-243))}{4} = \frac{10(244)}{4} = 10(61) = 610$

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3. 最終的な答え**

1. 数列の一般項の推定

(1) $n^3$

(2) $\sqrt{n}$

(3) $\frac{1}{2^n}$

2. 計算問題

(1) -5

(2) 40

(3) 99

(4) 16

3. 数列の一般項と和

(1) 一般項: $2n - 6$, 和: 0

(2) 一般項: $-3n + 13$, 和: 20

(3) 一般項: $-4 \times 2^{n-1}$, 和: -124

(4) 一般項: $10 \times (-3)^{n-1}$, 和: 610