関数 $f(x) = x^2 - 7x + 4$ について、以下の2つを求めます。 (1) $x$ が $-1$ から $2$ まで変化するときの平均変化率 (2) $x = -1$ における $f(x)$ の微分係数 $f'(-1)$ (定義より求める)

1. 問題の内容

関数 $f(x) = x^2 - 7x + 4$ について、以下の2つを求めます。

(1) $x$ が $-1$ から $2$ まで変化するときの平均変化率

(2) $x = -1$ における $f(x)$ の微分係数 $f'(-1)$ (定義より求める)

2. 解き方の手順

(1) 平均変化率は、$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ で計算できます。ここでは、$a = -1$, $b = 2$ です。

まず、$f(-1)$ と $f(2)$ を計算します。

$f(-1) = (-1)^2 - 7(-1) + 4 = 1 + 7 + 4 = 12$

$f(2) = (2)^2 - 7(2) + 4 = 4 - 14 + 4 = -6$

よって、平均変化率は、

$\frac{f(2)-f(-1)}{2-(-1)} = \frac{-6 - 12}{2+1} = \frac{-18}{3} = -6$

(2) 微分係数の定義より、$f'(-1) = \lim_{h\to 0} \frac{f(-1+h) - f(-1)}{h}$ です。

$f(-1+h) = (-1+h)^2 - 7(-1+h) + 4 = (1 - 2h + h^2) + 7 - 7h + 4 = h^2 - 9h + 12$

$f(-1) = 12$ (すでに計算済み)

よって、

$f'(-1) = \lim_{h\to 0} \frac{(h^2 - 9h + 12) - 12}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{h^2 - 9h}{h} = \lim_{h\to 0} (h - 9) = -9$

3. 最終的な答え

(1) 平均変化率：-6

(2) $f'(-1)$：-9