与えられた３つの式を展開する問題です。 (1) $(x+2)^5$ (2) $(x-3)^4$ (3) $(x-1)^6$

1. 問題の内容

与えられた３つの式を展開する問題です。

(1) $(x+2)^5$

(2) $(x-3)^4$

(3) $(x-1)^6$

2. 解き方の手順

二項定理を用いて展開します。二項定理は次の通りです。

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

ここで、$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ は二項係数です。

(1) $(x+2)^5$

$a=x, b=2, n=5$ として二項定理を適用します。

$(x+2)^5 = \binom{5}{0}x^5 2^0 + \binom{5}{1}x^4 2^1 + \binom{5}{2}x^3 2^2 + \binom{5}{3}x^2 2^3 + \binom{5}{4}x^1 2^4 + \binom{5}{5}x^0 2^5$

$= 1 \cdot x^5 \cdot 1 + 5 \cdot x^4 \cdot 2 + 10 \cdot x^3 \cdot 4 + 10 \cdot x^2 \cdot 8 + 5 \cdot x \cdot 16 + 1 \cdot 1 \cdot 32$

$= x^5 + 10x^4 + 40x^3 + 80x^2 + 80x + 32$

(2) $(x-3)^4$

$a=x, b=-3, n=4$ として二項定理を適用します。

$(x-3)^4 = \binom{4}{0}x^4 (-3)^0 + \binom{4}{1}x^3 (-3)^1 + \binom{4}{2}x^2 (-3)^2 + \binom{4}{3}x^1 (-3)^3 + \binom{4}{4}x^0 (-3)^4$

$= 1 \cdot x^4 \cdot 1 + 4 \cdot x^3 \cdot (-3) + 6 \cdot x^2 \cdot 9 + 4 \cdot x \cdot (-27) + 1 \cdot 1 \cdot 81$

$= x^4 - 12x^3 + 54x^2 - 108x + 81$

(3) $(x-1)^6$

$a=x, b=-1, n=6$ として二項定理を適用します。

$(x-1)^6 = \binom{6}{0}x^6 (-1)^0 + \binom{6}{1}x^5 (-1)^1 + \binom{6}{2}x^4 (-1)^2 + \binom{6}{3}x^3 (-1)^3 + \binom{6}{4}x^2 (-1)^4 + \binom{6}{5}x^1 (-1)^5 + \binom{6}{6}x^0 (-1)^6$

$= 1 \cdot x^6 \cdot 1 + 6 \cdot x^5 \cdot (-1) + 15 \cdot x^4 \cdot 1 + 20 \cdot x^3 \cdot (-1) + 15 \cdot x^2 \cdot 1 + 6 \cdot x \cdot (-1) + 1 \cdot 1 \cdot 1$

$= x^6 - 6x^5 + 15x^4 - 20x^3 + 15x^2 - 6x + 1$

3. 最終的な答え

(1) $x^5 + 10x^4 + 40x^3 + 80x^2 + 80x + 32$

(2) $x^4 - 12x^3 + 54x^2 - 108x + 81$

(3) $x^6 - 6x^5 + 15x^4 - 20x^3 + 15x^2 - 6x + 1$