ベクトル $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ が図で与えられている。 (0) $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ の成分を求め、 (1) $\frac{1}{2}\vec{a}$ から (8) $\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$ までのベクトルを成分で計算し、図中の点1から8を始点として、それぞれのベクトルを図示する。

1. 問題の内容

ベクトル $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ が図で与えられている。

(0) $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ の成分を求め、

(1) $\frac{1}{2}\vec{a}$ から (8) $\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$ までのベクトルを成分で計算し、図中の点1から8を始点として、それぞれのベクトルを図示する。

2. 解き方の手順

(0) 図からベクトルの成分を読み取る。

$\vec{a}$ は右に3, 上に2進んでいるので $\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$

$\vec{b}$ は右に1, 下に3進んでいるので $\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix}$

$\vec{c}$ は右に0, 下に4進んでいるので $\vec{c} = \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \end{pmatrix}$

(1) $\frac{1}{2}\vec{a} = \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{3}{2} \\ 1 \end{pmatrix}$

(2) $-2\vec{b} = -2 \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \end{pmatrix}$

(3) $\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix}$

(4) $\vec{a} - \vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}$

(5) $-\frac{1}{2}\vec{c} = -\frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}$

(6) $\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} + \frac{1}{2} \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}$

(7) $\vec{b} - \vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ -5 \end{pmatrix}$

(8) $\vec{a} - \vec{b} + \vec{c} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(0) $\vec{a} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$, $\vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \end{pmatrix}$, $\vec{c} = \begin{pmatrix} 0 \\ -4 \end{pmatrix}$

(1) $\frac{1}{2}\vec{a} = \begin{pmatrix} \frac{3}{2} \\ 1 \end{pmatrix}$

(2) $-2\vec{b} = \begin{pmatrix} -2 \\ 6 \end{pmatrix}$

(3) $\vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ -1 \end{pmatrix}$

(4) $\vec{a} - \vec{b} = \begin{pmatrix} 2 \\ 5 \end{pmatrix}$

(5) $-\frac{1}{2}\vec{c} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \end{pmatrix}$

(6) $\vec{a} + \frac{1}{2}\vec{c} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}$

(7) $\vec{b} - \vec{a} = \begin{pmatrix} -2 \\ -5 \end{pmatrix}$

(8) $\vec{a} - \vec{b} + \vec{c} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}$

上記成分を用いて、図中の点1から8を始点として、それぞれのベクトルを図示してください。