問題11：第10項が25、第35項が75である等差数列 $\{a_n\}$ の初項と公差を求め、また、119がこの数列の第何項であるかを求める。 問題17：(1) 初項2, 末項27, 項数10 の等差数列の和Sを求めよ。(2) 初項-3, 公差5, 項数15 の等差数列の和Sを求めよ。

1. 問題の内容

問題11：第10項が25、第35項が75である等差数列 $\{a_n\}$ の初項と公差を求め、また、119がこの数列の第何項であるかを求める。

問題17：(1) 初項2, 末項27, 項数10 の等差数列の和Sを求めよ。(2) 初項-3, 公差5, 項数15 の等差数列の和Sを求めよ。

2. 解き方の手順

問題11：

等差数列の一般項は $a_n = a + (n-1)d$ で表される。ここで、$a$ は初項、$d$ は公差である。

第10項が25なので、

$a_{10} = a + 9d = 25$ (1)

第35項が75なので、

$a_{35} = a + 34d = 75$ (2)

(2) - (1) より、

$25d = 50$

$d = 2$

$d = 2$ を (1) に代入すると、

$a + 9(2) = 25$

$a + 18 = 25$

$a = 7$

よって、初項は7、公差は2である。

次に、119が第何項であるかを求める。

$a_n = a + (n-1)d = 7 + (n-1)2 = 119$

$7 + 2n - 2 = 119$

$2n + 5 = 119$

$2n = 114$

$n = 57$

よって、119は第57項である。

問題17：

(1) 等差数列の和の公式は $S = \frac{n(a_1 + a_n)}{2}$ で表される。ここで、$n$ は項数、$a_1$ は初項、$a_n$ は末項である。

初項が2、末項が27、項数が10なので、

$S = \frac{10(2+27)}{2} = \frac{10(29)}{2} = 5(29) = 145$

(2) 等差数列の和の公式は $S = \frac{n(2a + (n-1)d)}{2}$ で表される。ここで、$n$ は項数、$a$ は初項、$d$ は公差である。

初項が-3、公差が5、項数が15なので、

$S = \frac{15(2(-3) + (15-1)5)}{2} = \frac{15(-6 + 14(5))}{2} = \frac{15(-6 + 70)}{2} = \frac{15(64)}{2} = 15(32) = 480$

3. 最終的な答え

問題11：初項は7、公差は2。119は第57項である。

問題17：(1) 145 (2) 480