1から1000までの番号が付いた1000枚のカード全体の集合を$U$とし、その中で3の倍数、5の倍数、7の倍数の番号が付いたカードの集合をそれぞれ$A, B, C$とする。$U$の全てのカードを表を上にして並べ、以下の操作を行う。 (i) まず$A$の全てのカードの表裏を逆にする。 (ii) さらに続けて$B$の全てのカードの表裏を逆にする。 (iii) 最後に$C$の全てのカードの表裏を逆にする。 (ii)の操作が終わった段階で表が上を向いているカードの集合を$X$とし、(iii)の操作が終わったとき、2回以上表裏を逆にしたカードの集合を$Y$とする。 (1) $B$の補集合を$\overline{B}$とするとき、共通部分$A \cap \overline{B}$の要素の個数を求めよ。 (2) $X$を$A, B$および記号$\cup, \cap, \overline{\phantom{A}}, ( )$などを用いて表し、$X$の要素の個数を求めよ。 (3) $Y$を$A, B, C$および記号$\cup, \cap, \overline{\phantom{A}}, ( )$などを用いて表し、$Y$の要素の個数を求めよ。

1. 問題の内容

1から1000までの番号が付いた1000枚のカード全体の集合を$U$とし、その中で3の倍数、5の倍数、7の倍数の番号が付いたカードの集合をそれぞれ$A, B, C$とする。$U$の全てのカードを表を上にして並べ、以下の操作を行う。

(i) まず$A$の全てのカードの表裏を逆にする。

(ii) さらに続けて$B$の全てのカードの表裏を逆にする。

(iii) 最後に$C$の全てのカードの表裏を逆にする。

(ii)の操作が終わった段階で表が上を向いているカードの集合を$X$とし、(iii)の操作が終わったとき、2回以上表裏を逆にしたカードの集合を$Y$とする。

(1) $B$の補集合を$\overline{B}$とするとき、共通部分$A \cap \overline{B}$の要素の個数を求めよ。

(2) $X$を$A, B$および記号$\cup, \cap, \overline{\phantom{A}}, ( )$などを用いて表し、$X$の要素の個数を求めよ。

(3) $Y$を$A, B, C$および記号$\cup, \cap, \overline{\phantom{A}}, ( )$などを用いて表し、$Y$の要素の個数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1)

$A \cap \overline{B}$は、$A$に属し、$B$に属さない要素の集合である。

$A$は3の倍数の集合、$B$は5の倍数の集合であるから、$A \cap \overline{B}$は3の倍数であって5の倍数でない数の集合である。

1から1000までの3の倍数の個数は$\lfloor \frac{1000}{3} \rfloor = 333$個である。

1から1000までの15の倍数（3の倍数かつ5の倍数）の個数は$\lfloor \frac{1000}{15} \rfloor = 66$個である。

よって、$A \cap \overline{B}$の要素の個数は$333 - 66 = 267$個である。

(2)

はじめ、全てのカードは表を向いている。

操作(i)で$A$のカードの表裏を逆にする。この時点で、表を向いているのは$\overline{A}$のカードである。

操作(ii)で$B$のカードの表裏を逆にする。

このとき、$\overline{A}$に属するカードのうち、$B$に属するカードは裏を向き、$\overline{A}$に属し$\overline{B}$に属するカードは表を向く。また、$A$に属するカードのうち、$B$に属するカードは表を向き、$A$に属し$\overline{B}$に属するカードは裏を向く。

したがって、操作(ii)が終わった段階で表を向いているカードの集合$X$は、$(A \cap B) \cup (\overline{A} \cap \overline{B} ) = (A \cap B) \cup \overline{A \cup B}$となる。これは集合$X$を表している。

または、裏を向いているカードの集合は$(A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B)$なので、$X = \overline{(A \cap \overline{B}) \cup (\overline{A} \cap B)}$とも表せる。

$X$の要素の個数を求める。

$X = (A \cap B) \cup \overline{A \cup B}$ より、

$|X| = |A \cap B| + |\overline{A \cup B}| = |A \cap B| + |U| - |A \cup B|$

ここで、$|A \cap B| = \lfloor \frac{1000}{15} \rfloor = 66$、$|U| = 1000$、$|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B| = \lfloor \frac{1000}{3} \rfloor + \lfloor \frac{1000}{5} \rfloor - \lfloor \frac{1000}{15} \rfloor = 333 + 200 - 66 = 467$。

したがって、$|X| = 66 + 1000 - 467 = 599$。

(3)

$Y$は2回以上裏返されたカードの集合である。

操作(i), (ii), (iii)を行うので、カードは0回、1回、2回、3回のいずれか裏返される。$Y$は2回または3回裏返されるカードの集合である。

2回裏返されるのは、$(A \cap B \cap \overline{C}) \cup (A \cap \overline{B} \cap C) \cup (\overline{A} \cap B \cap C)$

3回裏返されるのは、$A \cap B \cap C$

よって、$Y = (A \cap B \cap \overline{C}) \cup (A \cap \overline{B} \cap C) \cup (\overline{A} \cap B \cap C) \cup (A \cap B \cap C)$。

$Y = (A \cap B) \cup (B \cap C) \cup (C \cap A)$とも書ける。

$|Y| = |(A \cap B) \cup (B \cap C) \cup (C \cap A)|$

$|A \cap B| = \lfloor \frac{1000}{15} \rfloor = 66$, $|B \cap C| = \lfloor \frac{1000}{35} \rfloor = 28$, $|C \cap A| = \lfloor \frac{1000}{21} \rfloor = 47$

$|A \cap B \cap C| = \lfloor \frac{1000}{105} \rfloor = 9$

$|Y| = |A \cap B| + |B \cap C| + |C \cap A| - |A \cap B \cap C| - |A \cap B \cap C| - |A \cap B \cap C| + |A \cap B \cap C|$

$|Y| = |A \cap B| + |B \cap C| + |C \cap A| - 2|A \cap B \cap C|$

$|Y| = 66 + 28 + 47 - 2 \times 9 = 141 - 18 = 123$

3. 最終的な答え

(1) 267

(2) $X = (A \cap B) \cup \overline{A \cup B}$ , 599

(3) $Y = (A \cap B) \cup (B \cap C) \cup (C \cap A)$ , 123