与えられた2次方程式 $x^2 - x + 2 = 0$ に関する以下の問題を解きます。 (1) 2次方程式の解を求める。 (2) 3次式 $x^3 + 2x^2 + 7$ を2次式 $x^2 - x + 2$ で割ったときの商と余りを求める。 (3) 2次方程式の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、 (i) $(\alpha+1)(\beta+1)$ の値と $\alpha^3 + \beta^3$ の値を求める。 (ii) 2次方程式 $x^2 + ax + b = 0$ の2つの解が $(\alpha+1)^3, (\beta+1)^3$ となるような $a, b$ の値の組 $(a, b)$ を求める。 (4) $p$ を2次方程式の解とし、$A = (p^3+2p^2+7)^2 + 9(p^3+2p^2+7) + 81$ の値を求める。

1. 問題の内容

与えられた2次方程式 $x^2 - x + 2 = 0$ に関する以下の問題を解きます。

(1) 2次方程式の解を求める。

(2) 3次式 $x^3 + 2x^2 + 7$ を2次式 $x^2 - x + 2$ で割ったときの商と余りを求める。

(3) 2次方程式の2つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、

(i) $(\alpha+1)(\beta+1)$ の値と $\alpha^3 + \beta^3$ の値を求める。

(ii) 2次方程式 $x^2 + ax + b = 0$ の2つの解が $(\alpha+1)^3, (\beta+1)^3$ となるような $a, b$ の値の組 $(a, b)$ を求める。

(4) $p$ を2次方程式の解とし、$A = (p^3+2p^2+7)^2 + 9(p^3+2p^2+7) + 81$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) 2次方程式 $x^2 - x + 2 = 0$ を解の公式を用いて解きます。

解の公式は $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ です。この場合、$a = 1, b = -1, c = 2$ なので、

$x = \frac{1 \pm \sqrt{(-1)^2 - 4(1)(2)}}{2(1)} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 8}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{-7}}{2} = \frac{1 \pm i\sqrt{7}}{2}$

(2) 3次式 $x^3 + 2x^2 + 7$ を2次式 $x^2 - x + 2$ で割ります。

$x^3 + 2x^2 + 7 = (x^2 - x + 2)(x+3) + (-x+1)$

したがって、商は $x+3$ 、余りは $-x+1$ です。

(3) (i) $\alpha$ と $\beta$ は $x^2 - x + 2 = 0$ の解なので、解と係数の関係より $\alpha + \beta = 1$、$\alpha\beta = 2$ です。

$(\alpha+1)(\beta+1) = \alpha\beta + \alpha + \beta + 1 = 2 + 1 + 1 = 4$

$\alpha^3 + \beta^3 = (\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta) = (1)^3 - 3(2)(1) = 1 - 6 = -5$

(ii) $(\alpha+1)^3$ と $(\beta+1)^3$ を解とする2次方程式は $x^2 + ax + b = 0$ です。

まず、$(\alpha+1)^3$ と $(\beta+1)^3$ を計算します。

$(\alpha+1)^3 = \alpha^3 + 3\alpha^2 + 3\alpha + 1$

$(\beta+1)^3 = \beta^3 + 3\beta^2 + 3\beta + 1$

$(\alpha+1)^3 + (\beta+1)^3 = (\alpha^3 + \beta^3) + 3(\alpha^2 + \beta^2) + 3(\alpha + \beta) + 2 = -5 + 3((\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta) + 3(1) + 2 = -5 + 3(1 - 4) + 3 + 2 = -5 - 9 + 3 + 2 = -9$

$(\alpha+1)^3 (\beta+1)^3 = [(\alpha+1)(\beta+1)]^3 = (4)^3 = 64$

解と係数の関係から、 $-a = (\alpha+1)^3 + (\beta+1)^3 = -9$、 $b = (\alpha+1)^3 (\beta+1)^3 = 64$。

したがって、$a = 9, b = 64$。

(4) $p$ は $x^2 - x + 2 = 0$ の解なので、$p^2 - p + 2 = 0$。したがって、$p^2 = p - 2$。

$p^3 = p(p^2) = p(p - 2) = p^2 - 2p = (p - 2) - 2p = -p - 2$。

$p^3 + 2p^2 + 7 = (-p - 2) + 2(p - 2) + 7 = -p - 2 + 2p - 4 + 7 = p + 1$

$A = (p+1)^6 + 9(p+1)^3 + 81$

ここで、$x = (p+1)^3$ とおくと、$A = x^2 + 9x + 81$ です。

$(p+1)^2 = p^2 + 2p + 1 = (p-2) + 2p + 1 = 3p - 1$

$(p+1)^3 = (p+1)(3p - 1) = 3p^2 + 2p - 1 = 3(p-2) + 2p - 1 = 5p - 7$

$x = 5p - 7$ とおくと $p = (x + 7) / 5$

$A = x^2 + 9x + 81 = (5p - 7)^2 + 9(5p - 7) + 81 = 25p^2 - 70p + 49 + 45p - 63 + 81 = 25p^2 - 25p + 67 = 25(p-2) - 25p + 67 = 25p - 50 - 25p + 67 = 17$

または、

$A = (5p-7)^2 + 9(5p-7) + 81 = (5p-7)^2 + 9(5p-7) + 81 = (5p-7)^2 + 9(5p-7) + 81$.

ここで、$a = 5p-7$と置くと、$A = a^2+9a+81 = a^2+9a+\frac{81}{4} + 81 - \frac{81}{4} = (a+\frac{9}{2})^2 + \frac{243}{4}$ となるため、計算が複雑になります。

$A = (p+1)^6 + 9(p+1)^3 + 81$

$(p+1)^3 = 5p-7$

$(p+1)^6 = (5p-7)^2 = 25p^2-70p+49 = 25(p-2) - 70p + 49 = 25p-50 - 70p + 49 = -45p - 1$

$A = (-45p - 1) + 9(5p - 7) + 81 = -45p - 1 + 45p - 63 + 81 = 17$

3. 最終的な答え

(1) $x = \frac{1 \pm i\sqrt{7}}{2}$

(2) 商：$x+3$、余り：$-x+1$

(3) (i) $(\alpha+1)(\beta+1) = 4$, $\alpha^3 + \beta^3 = -5$

(ii) $(a, b) = (9, 64)$

(4) $A = 17$