次の式を因数分解する。 (1) $xy - yz + zu - ux$ (2) $16 - 8b + 2ab - a^2$ (3) $x^2y + x^2 - y - 1$ (4) $x^2 - 2y^2 + xy + yz - zx$

1. 問題の内容

次の式を因数分解する。

(1) $xy - yz + zu - ux$

(2) $16 - 8b + 2ab - a^2$

(3) $x^2y + x^2 - y - 1$

(4) $x^2 - 2y^2 + xy + yz - zx$

2. 解き方の手順

(1) $xy - yz + zu - ux$

共通因数でくくることを考える。

$xy - yz + zu - ux = (xy - ux) + (zu - yz)$

$= x(y - u) - z(y - u)$

$= (x - z)(y - u)$

(2) $16 - 8b + 2ab - a^2$

定数項に注目し、平方の形を作り出すことを考える。

$16 - 8b + 2ab - a^2 = 16 - (a^2 - 2ab + 8b)$

$= 16 - (a^2 - 2ab + b^2 - b^2 + 8b)$

$= 16 - ((a - b)^2 - b^2 + 8b)$

$= 16 - (a - b)^2 + b^2 - 8b$

$= 16 - 8b + b^2 - a^2 + 2ab - b^2$

$= (4 - b)^2 - a^2 + 2ab - b^2 = 16 - (a^2 - 2ab + b^2) - 8b$

$= 4^2 - (a - b)^2 = (4 - (a - b))(4 + (a - b))$

$= (4 - a + b)(4 + a - b)$

(3) $x^2y + x^2 - y - 1$

共通因数でくくることを考える。

$x^2y + x^2 - y - 1 = (x^2y - y) + (x^2 - 1)$

$= y(x^2 - 1) + (x^2 - 1)$

$= (y + 1)(x^2 - 1)$

$= (y + 1)(x - 1)(x + 1)$

(4) $x^2 - 2y^2 + xy + yz - zx$

$x$について整理する。

$x^2 + (y - z)x - 2y^2 + yz$

$= x^2 + (y - z)x - (2y^2 - yz)$

$= x^2 + (y - z)x - y(2y - z)$

$= (x + 2y)(x - y) + (y - z)x - (- yz)$

$= x^2 + (y - z)x - y(2y - z)$

たすき掛けで因数分解できるか考える。

$(x - y)(x + 2y)$ であれば、$x^2 + xy - 2y^2$

$z$ の項が入っていないので、それを考慮する。

$x^2 + xy + yz - xz - 2y^2 = x^2 + (y - z)x - (2y^2 - yz)$

$= x^2 + (y - z)x - y(2y - z)$

$(x - y)(x + 2y + z) = x^2 + 2xy + xz - xy - 2y^2 - yz = x^2 + xy + xz - 2y^2 - yz$

$= (x + 2y)(x - y) + z(x - y) = x^2 + xy - 2y^2 + zx - zy$

$= x^2 + xy - 2y^2 + z(x - y)$

$x^2 + xy - zx - 2y^2 + yz$

$x^2 + x(y - z) - 2y^2 + yz = x^2 + x(y - z) - y(2y - z)$

$x^2 + x(y - z) - y(2y - z)$

$= (x - (y))(x + (2y - z)) = x^2 + (y - z) x - 2y^2 + zy$

$= (x - y)(x + 2y - z)$

3. 最終的な答え

(1) $(x - z)(y - u)$

(2) $(4 - a + b)(4 + a - b)$

(3) $(y + 1)(x - 1)(x + 1)$

(4) $(x - y)(x + 2y - z)$