全体集合$U$の部分集合$A, B$について、$n(U) = 100, n(A) = 36, n(B) = 42, n(A \cap B) = 15$であるとき、以下の個数を求めよ。 (1) $n(\overline{A})$ (2) $n(\overline{B})$ (3) $n(\overline{A \cap B})$ (4) $n(A \cup B)$ (5) $n(\overline{A \cup B})$ (6) $n(\overline{A} \cap \overline{B})$

1. 問題の内容

全体集合$U$の部分集合$A, B$について、$n(U) = 100, n(A) = 36, n(B) = 42, n(A \cap B) = 15$であるとき、以下の個数を求めよ。

(1) $n(\overline{A})$

(2) $n(\overline{B})$

(3) $n(\overline{A \cap B})$

(4) $n(A \cup B)$

(5) $n(\overline{A \cup B})$

(6) $n(\overline{A} \cap \overline{B})$

2. 解き方の手順

(1) $\overline{A}$ は $A$ の補集合であるため、$n(\overline{A}) = n(U) - n(A)$。

(2) $\overline{B}$ は $B$ の補集合であるため、$n(\overline{B}) = n(U) - n(B)$。

(3) $\overline{A \cap B}$ は $A \cap B$ の補集合であるため、$n(\overline{A \cap B}) = n(U) - n(A \cap B)$。

(4) $A \cup B$ は $A$ と $B$ の和集合であるため、$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$。

(5) $\overline{A \cup B}$ は $A \cup B$ の補集合であるため、$n(\overline{A \cup B}) = n(U) - n(A \cup B)$。

(6) ド・モルガンの法則より$\overline{A} \cap \overline{B} = \overline{A \cup B}$であるため、$n(\overline{A} \cap \overline{B}) = n(\overline{A \cup B})$。

計算:

(1) $n(\overline{A}) = 100 - 36 = 64$

(2) $n(\overline{B}) = 100 - 42 = 58$

(3) $n(\overline{A \cap B}) = 100 - 15 = 85$

(4) $n(A \cup B) = 36 + 42 - 15 = 63$

(5) $n(\overline{A \cup B}) = 100 - 63 = 37$

(6) $n(\overline{A} \cap \overline{B}) = n(\overline{A \cup B}) = 37$

3. 最終的な答え

(1) $n(\overline{A}) = 64$

(2) $n(\overline{B}) = 58$

(3) $n(\overline{A \cap B}) = 85$

(4) $n(A \cup B) = 63$

(5) $n(\overline{A \cup B}) = 37$

(6) $n(\overline{A} \cap \overline{B}) = 37$