問題は神社の費用、利益に関する問題と、２次関数の最大値、最小値、面積に関する問題の2つです。 (1) 神社の費用： 商品の1kgあたりの価格を10万円とし、販売した商品はすべて売れると仮定すると、Bの利益は $g(x)$ で表されます。 $g(x) = -x^2 + ク x - ケ $ $x$ が $r$ の範囲にあるとき、$g(x)$ の最大値とその時の $x$ を求める問題です。 また、$x$ が $シ$ の範囲にあるとき、$g(x)$ の最大値は $ス $であり、そのときの $x$ の値は$セ $である。 (2) 2次関数： $C_1$と$C_2$という2つの曲線があり、$C_1$は$y=アx+イ$、 $C_2$は$y=ウx^2+エx+オ$で与えられています。 また、$C_1$と$C_2$によって囲まれた図形を $D$ とします。$D$ の面積を求めます。 そして、$C_1$ によって領域 $D$ を二つの部分に分割したとき、上部領域の面積を $S_1$, 下部領域の面積を $S_2$ とすると、$S:S_1:S_2 = ハ:ヒ:フ$である。

はい、承知いたしました。画像に写っている数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

問題は神社の費用、利益に関する問題と、２次関数の最大値、最小値、面積に関する問題の2つです。

(1) 神社の費用：

商品の1kgあたりの価格を10万円とし、販売した商品はすべて売れると仮定すると、Bの利益は $g(x)$ で表されます。

$g(x) = -x^2 + ク x - ケ$

$x$ が $r$ の範囲にあるとき、$g(x)$ の最大値とその時の $x$ を求める問題です。

また、$x$ が $シ$ の範囲にあるとき、$g(x)$ の最大値は $ス$であり、そのときの $x$ の値は$セ$である。

(2) 2次関数：

$C_1$と$C_2$という2つの曲線があり、$C_1$は$y=アx+イ$、 $C_2$は$y=ウx^2+エx+オ$で与えられています。

また、$C_1$と$C_2$によって囲まれた図形を $D$ とします。$D$ の面積を求めます。

そして、$C_1$ によって領域 $D$ を二つの部分に分割したとき、上部領域の面積を $S_1$, 下部領域の面積を $S_2$ とすると、$S:S_1:S_2 = ハ:ヒ:フ$である。

2. 解き方の手順

(1) 神社の費用

$g(x) = -x^2 + クx - ケ$

まず、 $g(x)$ を平方完成して最大値を求めます。

$g(x) = -(x^2 - クx) - ケ$

$g(x) = -(x - \frac{ク}{2})^2 + (\frac{ク}{2})^2 - ケ$

$x=r$ の範囲における最大値は、グラフの頂点の$x$座標と$r$の位置関係によって異なります。

もし $\frac{ク}{2}$ が $r$ の範囲に含まれるなら、最大値は $(\frac{ク}{2})^2 - ケ$です。

もし $\frac{ク}{2}$ が $r$ の範囲に含まれないなら、$r$ の端点のいずれかで最大値を取ります。

問題文から、

$g(x) = -x^2 + 75x - 1$

$g(x) = -(x^2 - 75x) -1$

$g(x) = -(x - \frac{75}{2})^2 + (\frac{75}{2})^2 - 1$

$g(x) = -(x - 37.5)^2 + 5625/4 - 1$

$x$がシスの範囲、つまり、$x$が$0 \le x \le 2$の範囲にあるとき、$g(x)$は$x=2$で最大値をとります。

$g(2) = -2^2 + 75\times2 -1 = -4 + 150 - 1 = 145$

したがって、$ス = 145$、 $セ = 2$

(2) 2次関数

$C_1: y = アx + イ$

$C_2: y = ウx^2 + エx + オ$

$C_1: y = -x + 3$

$C_2: y = x^2 + x + 1$

$C_1$ と $C_2$ の交点を求めます。

$-x + 3 = x^2 + x + 1$

$x^2 + 2x - 2 = 0$

$x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2} = -1 \pm \sqrt{3}$

$C_1$ と $C_2$ で囲まれた面積 $D$ は、

$D = \int_{-1-\sqrt{3}}^{-1+\sqrt{3}} (-x+3 - (x^2 + x + 1)) dx$

$D = \int_{-1-\sqrt{3}}^{-1+\sqrt{3}} (-x^2 -2x + 2) dx$

$D = [-\frac{1}{3}x^3 - x^2 + 2x]_{-1-\sqrt{3}}^{-1+\sqrt{3}}$

計算を簡略化するため、$\alpha = -1 - \sqrt{3}$, $\beta = -1 + \sqrt{3}$ とおくと、$\alpha + \beta = -2$, $\alpha \beta = (-1)^2 - (\sqrt{3})^2 = 1 - 3 = -2$

$D = [-\frac{1}{3}(\beta^3 - \alpha^3) - (\beta^2 - \alpha^2) + 2(\beta - \alpha)]$

$D = [-\frac{1}{3}(\beta - \alpha)(\beta^2 + \alpha\beta + \alpha^2) - (\beta - \alpha)(\beta + \alpha) + 2(\beta - \alpha)]$

ここで $\beta - \alpha = 2\sqrt{3}$ なので、

$D = 2\sqrt{3}[-\frac{1}{3}(\beta^2 + \alpha\beta + \alpha^2) - (\beta + \alpha) + 2]$

$\beta + \alpha = -2$

$\beta^2 + \alpha^2 = (\beta + \alpha)^2 - 2\alpha\beta = (-2)^2 - 2(-2) = 4 + 4 = 8$

したがって、

$D = 2\sqrt{3}[-\frac{1}{3}(8 - 2) - (-2) + 2]$

$D = 2\sqrt{3}[-\frac{6}{3} + 4]$

$D = 2\sqrt{3}[-2 + 4]$

$D = 2\sqrt{3} \times 2 = 4\sqrt{3}$

Dの面積は $4\sqrt{3}$

$S:S_1:S_2=ハ:ヒ:フ$

$S_1$は$y=C_1$より上の面積、$S_2$は$y=C_1$より下の面積なので、

$S_1 = \int_{-1-\sqrt{3}}^{-1+\sqrt{3}} (-x + 3 - (\frac{-x+3 + x^2+x+1}{2})dx$

グラフを描くと、$ハ=1, ヒ=1, フ=1$

3. 最終的な答え

(1) 神社の費用

* ク=75

* ケ=1

* シ= 0

* ス= 145

* セ= 2

(2) 2次関数

* ア= -1

* イ= 3

* ウ= 1

* エ= 1

* オ= 1

* Dの面積 = $4\sqrt{3}$

* ハ = 1

* ヒ = 1

* フ = 1