行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、正の整数 $n$ に対して $A^n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ n & 1 & 0 \\ \frac{n(n+1)}{2} & n & 1 \end{pmatrix}$ が成り立つことを数学的帰納法を用いて示す問題です。

1. 問題の内容

行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$ が与えられたとき、正の整数 $n$ に対して $A^n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ n & 1 & 0 \\ \frac{n(n+1)}{2} & n & 1 \end{pmatrix}$ が成り立つことを数学的帰納法を用いて示す問題です。

2. 解き方の手順

(1) $n=1$ のとき

$A^1 = A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

また、$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ \frac{1(1+1)}{2} & 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

よって、$n=1$ のとき成り立つ。

(2) $n=k$ のとき成り立つと仮定する。すなわち、

$A^k = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ k & 1 & 0 \\ \frac{k(k+1)}{2} & k & 1 \end{pmatrix}$ が成り立つと仮定する。

(3) $n=k+1$ のとき

$A^{k+1} = A^k \cdot A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ k & 1 & 0 \\ \frac{k(k+1)}{2} & k & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ k+1 & 1 & 0 \\ \frac{k(k+1)}{2} + k + 1 & k+1 & 1 \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ k+1 & 1 & 0 \\ \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} & k+1 & 1 \end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ k+1 & 1 & 0 \\ \frac{(k+1)(k+2)}{2} & k+1 & 1 \end{pmatrix}$

これは、$n=k+1$ のときの式 $\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ k+1 & 1 & 0 \\ \frac{(k+1)(k+1+1)}{2} & k+1 & 1 \end{pmatrix}$ と一致する。

したがって、$n=k+1$ のときも成り立つ。

(1), (3) より、数学的帰納法により、すべての正の整数 $n$ に対して、$A^n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ n & 1 & 0 \\ \frac{n(n+1)}{2} & n & 1 \end{pmatrix}$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

すべての正の整数 $n$ に対して、$A^n = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ n & 1 & 0 \\ \frac{n(n+1)}{2} & n & 1 \end{pmatrix}$ が成り立つ。