$x^2 + 7x + a$ が正の整数 $b, c$ を用いて $(x+b)(x+c)$ と因数分解できるような定数 $a$ の値をすべて求め、その求め方を説明せよ。

1. 問題の内容

$x^2 + 7x + a$ が正の整数 $b, c$ を用いて $(x+b)(x+c)$ と因数分解できるような定数 $a$ の値をすべて求め、その求め方を説明せよ。

2. 解き方の手順

$x^2 + 7x + a = (x+b)(x+c)$ となる時、展開すると

$x^2 + 7x + a = x^2 + (b+c)x + bc$

係数を比較すると、

$b+c = 7$

$a = bc$

$b, c$ は正の整数なので、$b+c = 7$ となる組み合わせは

$(b, c) = (1, 6), (2, 5), (3, 4), (4, 3), (5, 2), (6, 1)$

$b, c$ の順序を考慮しないと、

$(b, c) = (1, 6), (2, 5), (3, 4)$

それぞれの $a$ の値は

$a = bc = 1 \times 6 = 6$

$a = bc = 2 \times 5 = 10$

$a = bc = 3 \times 4 = 12$

3. 最終的な答え

aの値: 6, 10, 12

求め方:

$x^2 + 7x + a = (x+b)(x+c)$ となる正の整数 $b, c$ を探す。展開すると $x^2 + 7x + a = x^2 + (b+c)x + bc$ となるので、$b+c = 7$ かつ $a = bc$ となる。$b+c=7$ となる正の整数の組み合わせを探し、それぞれの $bc$ の値を計算して $a$ の値を求める。