$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式を解け。 $\cos{2\theta} - \cos{\theta} = -1$

1. 問題の内容

$0 \leq \theta < 2\pi$ のとき、次の方程式を解け。

$\cos{2\theta} - \cos{\theta} = -1$

2. 解き方の手順

まず、$\cos{2\theta}$ を $\cos{\theta}$ で表します。2倍角の公式より、

$\cos{2\theta} = 2\cos^2{\theta} - 1$

したがって、与えられた方程式は

$2\cos^2{\theta} - 1 - \cos{\theta} = -1$

となります。これを整理すると、

$2\cos^2{\theta} - \cos{\theta} = 0$

$\cos{\theta}(2\cos{\theta} - 1) = 0$

よって、$\cos{\theta} = 0$ または $2\cos{\theta} - 1 = 0$

すなわち、$\cos{\theta} = 0$ または $\cos{\theta} = \frac{1}{2}$

(i) $\cos{\theta} = 0$ のとき、$0 \leq \theta < 2\pi$ で $\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}$

(ii) $\cos{\theta} = \frac{1}{2}$ のとき、$0 \leq \theta < 2\pi$ で $\theta = \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$

3. 最終的な答え

$\theta = \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$