与えられた式を因数分解する問題です。ここでは、問題(3) $x^2 - 4x - y^2 - 6y - 5$ を扱います。

1. 問題の内容

与えられた式を因数分解する問題です。ここでは、問題(3) $x^2 - 4x - y^2 - 6y - 5$ を扱います。

2. 解き方の手順

与えられた式を次のように変形します。

$x^2 - 4x - (y^2 + 6y + 5)$

次に、括弧の中の式を因数分解します。

$y^2 + 6y + 5 = (y+1)(y+5)$

したがって、式は次のようになります。

$x^2 - 4x - (y+1)(y+5)$

ここで、この式をさらに因数分解するために、$x$ の2次式とみて、たすき掛けを行います。

$x^2 - 4x - (y+1)(y+5) = (x - (y+1))(x + (y+5))$ と仮定すると展開すると

$(x - (y+5))(x+(y+1))= x^2-4x-(y+1)(y+5)$

しかし、

$x^2 - 4x - (y+1)(y+5) = x^2 - 4x - (y^2 + 6y + 5)$

与えられた式を $x$ と $y$ についての平方完成の形にします。

$x^2 - 4x - y^2 - 6y - 5 = (x^2 - 4x + 4) - (y^2 + 6y + 9) + 4 + 9 - 5 = (x-2)^2 - (y+3)^2 + 8$

これは因数分解できません。

元の式を再度確認します。

$x^2 - 4x - y^2 - 6y - 5 = x^2 - y^2 - 4x - 6y - 5 = (x^2 - y^2) - (4x + 6y + 5) = (x-y)(x+y) - (4x + 6y + 5)$

これも因数分解できません。

$x^2 - 4x - y^2 - 6y - 5 = (x^2 - 4x + 4) - (y^2 + 6y + 9) - 5 - 4 + 9 = (x-2)^2 - (y+3)^2 = (x-2+y+3)(x-2-y-3) = (x+y+1)(x-y-5)$

3. 最終的な答え

$(x+y+1)(x-y-5)$